本文出自长篇经典稳定理论著作《金属结构的稳定屈曲》（F.Bleich著）读后感，由全国勘察设计大师王立军先生亲笔撰写。该系列作品更多文章敬请阅读DS结构工作室公众号“大师讲堂”栏目

 

82.  两端具有弹性支承的杆件

设计图151的矮桁架桥梁时，如要将桥梁两端的门式刚架设计成能完全阻止端点的侧向位移，是困难而且也是不经济的。多数情况，刚架 的刚度和中间刚架的刚度是同阶的，因而不能忽略上弦两端的侧向位移的影响。用 表示端部支承的弹簧常数，C表示中间支承的弹簧常数，需求解的问题可表示为：已知弦杆中的轴向力 ,弦杆惯性矩I，中间支承弹簧系数C，以上数值在各跨相等，需求出端部支承所需弹簧常数 。假定跨数为2n。图152的受压弦杆，原点0取在弦杆中点。弦杆左半部支承编号为0到-n,右半部为0到n。为计入端部受压斜杆（图151b）的影响，将所讨论的体系延长，增加两根长度为d的杆件，它们受到 的压力并分别和-n和+n点铰接。

图151

图152

这一问题的分析步骤与上节相同。有限差分方程式（532）（533）、特征方程（536）（537）（538）保持不变。边界条件与上节不同。其中两个边界条件表示两端 点的弯矩为零。另外两个边界条件由平衡条件（式（530））加上考虑端部斜杆的一项 得到。四个边界条件为

(554)

上节中，式（534）中点ξ是一个复数，但由于边界条件（541）具有简单形式，使我们能求得具有实数形式的结果。目前情况，宜假定这两个差分方程具有下列形式

(555)

此处 a为需要确定的常数。

常数ξ和 a的关系为 ，由式（535）消去ξ后得到

式（537）、（538）成为

方程（557）可得到两个根 ，而对于每个 数值都有两个相应的 ，故 总共有四个 ， 它们相当于式（539）的ξ的四个根。由于 的二次方程式的根具有下列形式： ，假定 ，则可写成

式中

上面 的表达式是应用了式（531）求得的。

假定 ，后面将证明这一假定是正确的。由于这一假定， 、 是共轭复数。同时由于对每个 都有两个相应的根 ，故最后可得到四个根

由式（556）得到两个数值 ，它们分别相应于 和 。

为求得 ，可写成下式

根据式（558）可得

由上式解出

上式通过已知的设计特性 。将 代入式（556），得到

式中

最后，有限差分方程式的通解为

       (564)

将上式代入边界条件（554），得到包含未知数 至 的四个方程式，它们的行列式应为零。由于体系是对称的，条件Δ=0可分拆成两个方程式

       (565)

两个行列式具有相同形式，只是某几项的符号不同。取正号的 给出对称的屈曲形式，符号的 给出反对称的屈曲形式。

由于 可从设计特性计算出来，这两个方程式可直接求出弹簧常数 ，其较大值即为端部刚架 所需的刚度。

中间支承的弹簧常数C也不能任意选定，因为C受到由式（547）确定的具有刚性端部支承的 值的限制。如果杆件两端具有弹性支承，C必须大于 。设计时应选用 ,c大于1。再假定k>1.3（实际情况如此），同时为方便起见，在式（565）中引用 ， 为由式（521）求出的恩格塞尔数值。所需的 为

式中

许维达求出的ψ为

式中

由式（567）可确定ψ，它是n,k,c的函数。

由式（567a ）容易证明，当 ，式（557）的判别式 为负值。这是在推导式（558）时做的假定。实际情况中，所采用的k不应小于1.3，c不应小于1.2。因此，上面导出的公式包括了实际设计中所遇到的所有情况。

表25（略）由许维达算得。当2n=6,8,10,12时，对于任何已知的c和k，都可由表中得到ψ，端部支承所需的弹簧常数 可由简单的公式（566）算得。

当所有作为受压弦杆的支承（包括两端支承）的刚架都具有相同的弹性刚度时，也可以利用表25来求出弹簧常数C。这种情况可在图151 a的桁架中出现。此时， ， ，c由表25求出。首先从弦杆的设计特性算出k，然后在表中找到k，在包含 的竖行内可定出c，最后，弹簧常数为

多数情况下，表25可得到两个c，分别对应于略小于1和略大于1的ψ，此时c的真正数值可按直线插值法求出。

应用与上节相同的方法（有限差分法）得到两端弹性支承杆件具有中间弹性支承的稳定公式，这种情况是通常的端部情况。由此得到端部所需弹簧常数 及中间弹簧常数C，此时这些弹簧常数大于上节的两端刚性支承的弹簧常数。