80. 弹性支承杆件的精确理论.通解

图148的一般情况，在点0，1，2，…，n具有弹性支承的直杆，利用第六章59节的框架稳定的一般理论求得稳定方程。每一跨的尺寸和轴向力是不同的。?? 、I、P为常数的情况在后面第81和82节讨论。这两节中分别按两端具有刚性支承和弹性支承的假定导出解析解。

应用第59节的解析法对图148的结构进行研究，支承1,2,…,(n-1)得到n-1个三弯矩方程，n根杆件求得n个平衡方程式。这2n-1个方程可确定n-1个支承处的弯矩???? 和n个杆件转角?? ?? ，共计2n-1个未知数。

根据式（397）和（404），每个支承r=1,2,…,(n-1)可得一个三弯矩方程

对每一跨可得一个平衡条件

计算两个相邻方程的差，以从式（523）消去剪力?? ??

由于

和

?? ?? 为支承r的弹簧常数，式（524）成为

杆件转角 ?? ?? 通过挠度通过挠度 ?? ?? 表示

将式（527）代入（522）、（526），得到下列稳定方程。

三弯矩方程：

（r=1,2,…,n-1）

边界数值为?? 0 =0 ????=0。

中间点平衡条件：

（r=1,2,…,n-1）

端点0和n的平衡条件：

式（528）至（530）的稳定方程组可确定n-1个未知弯矩和n+1个未知挠度y。该方程组的系数行列式Δ=0给出稳定条件。

当弹性支承的数目很多时，数字计算工作将变得非常繁重。因此，采用通常的方法求解稳定方程Δ=0是行不通的。下面几节将讨论其它获得临界荷载的方法。

应用三弯矩方程和平衡方程，得到中间具有弹性支承的杆件稳定问题的通解。