本文出自长篇经典稳定理论著作《金属结构的稳定屈曲》（F.Bleich著）读后感，由全国勘察设计大师王立军先生亲笔撰写。该系列作品更多文章敬请阅读DS结构工作室公众号“大师讲堂”栏目。

79. 恩格塞尔公式

对本章所论述的稳定问题的第一个成功的研究应归功于恩格塞尔，他推导出一个近似公式，在下列的几何条件和力学条件下有效：

1. 长度为??=???? 的杆件AB，承受压力P，两铰接端A、B具有刚性支承，而在等距离的中间支点上具有弹性支承（图145a）。

2. 截面积A和惯性矩I为常数。

3. 任何弹性支承的反力R（图145b）可表示为

   ??=????           （512）

C 为弹簧常数，假定所有中间支点的C值相同。C值与支承的弹性刚度有关，其定义为单位位移y=1所需的作用力，在0至∞ 之间变化，如图146所示。

图145

图146

恩格塞尔假定杆件在AB之间屈曲成等长度?? 的半波（一般不是这种情况），弹性支承上的集中反力R用连续分布的弹性阻力dR代替

图147表示一个长度为?? 的半波以及作用于其上的力，即弹性阻力dR及力Q和?? c 。

图147

假定挠曲线为一余弦曲线

取长度?? 的中点为坐标原点。

剪力Q为

中点弯矩?? ?? 为

x=0 处应用下列微分关系

得到

式中

由式（514）求出[??′′]??=0 并代入上式，得到

从上式可见，对于已知的??????、 ?? 、 和C，???? 是半波长度?? 的函数。当

时，???? 最小，由此得到

由此求得半波长度

将式（518）代入（517），得到弹簧常数C的需要值 ?? ?????? ，这一数值是保证杆件承载能力 ?? ?? =????（P c 为杆件屈曲荷载， P为设计荷载， ??为安全系数）所必需的。

此式即为恩格塞尔公式。在设计支承弹性结构时必须使它的弹簧常数大于等于 ?? ?????? 。

式（519）中切线模量?? ?? 与 ????=?? ?? /??有关。为使式（519）便于设计应用，?? ?? 宜以欧拉公式表示

上式中?? ?? 定义为长度???? 的铰接柱的临界荷载。计算长度系数k必须大于1，因为k=1相应于极限值 ，而这一数值是不可能超过的，由式（520）得到

将上式的 ?? ?? ?? 代入式（519），得到

相应于临界应力 ?? ?? =?? ?? /??的长细比??=????/??，可从所考虑的材料的柱子曲线求出，从而得到??=????/??。回转半径由 求得。 式（521）适用于弹性和非弹性范围。

确定 ?? ?????? 很简单。将杆件设计应力??=??/??乘以安全系数??，得到临界应力????=????。从柱子曲线读出与 ?? ?? 相应的长细比??，然后计算??=????/??，最后由式（521）得到 ?? ?????? 。

只要半波长度?? 大于1.8??,恩格塞尔公式与两端具有刚性支承的杆件的精确解具有很好的符合，这将在下一节加以说明。恩格塞尔自己也认识到这个公式的局限性。极限长度??=1.8 ??相应于 k =1.3，而当杆件的抗弯刚度足够保证长度为?? 0 ≥1.3?? 的两端铰接柱的稳定时，这个公式是可以应用的。

由于假定在两端支点之间出现相等的半波，也就是假定在端部的挠度为零，因此式（519）和（521）只能用于两端具有刚性支承的杆件中。

恩格塞尔通过假定杆件的侧向挠曲形式为余弦曲线，由杆件截面的平衡方程得到两端刚性支承杆件具有中间弹性支承的稳定公式，由此得到所需弹簧常数?? ?????? 。