不是很有把握的回答一下，错了莫怪。
怀疑是旧泵出口的止回阀不太灵了，建议更换一个。
止回阀，不管是升降式还是旋启式还是别的什么式，未启泵时都是关闭的，其阀瓣动作的动力都是来自启泵的一瞬间阀瓣上下游的压差，只要压差大于阀瓣运行所需克服的重力+摩擦力，阀瓣就可以动作。旧止回阀在阀腔内不可避免会有锈蚀、沉积附着等，增大了摩擦力，所以需要更大的上下游压差来驱动其动作。
题主未完全描述清楚，我有把握认为这新旧两台泵是并联的，泵的出水汇入同一根管。
先开旧泵时，止回阀前后压差足够大，可以将阀瓣顶开。而新泵出口的新止回阀，在新泵开启时，只需要很小的一个压差就可以打开了，所以不影响新泵出水。
先开新泵时，旧泵出口止回阀的下游压力较前一情况高，从而此止回阀的上下游压差较小，小到不能把阀瓣顶开，所以旧泵就不出水了。
纯粹的主观臆断，仅供参考，如果说错了，幸勿见怪！

建议在先开新泵后启旧泵时，请电专业的人配合，测量一下不出水的旧泵的电流、转速等，如果测得电流较设计工况大、转速较设计工况低，那就更有可能符合我上面的分析。

我办公室一个同事，十五年工作经验，水专业。把这个问题给他看，他的回答是：“应该是止回阀顶不动吧。”
和我的想法一样。