有侧移与无侧移体系

前几节我们讲过了稳定的基本原理以及杆件稳定的知识，这节我们着重讨论结构体系稳定的问题。根据失稳时杆件任意节点是否有侧移划分为有侧移失稳与无侧移失稳两种形式。

对于有侧移失稳体系，指的是当体系没有支撑、或者支撑的刚度不足以使第一阶失稳模态成为无侧移。

对于无侧移失稳，限制节点不发生位移的原因可能来自于支撑、剪力墙或者其它强劲的支座，也就是存在另外一个侧移刚度远大于被支撑结构刚度的体系为其提供正刚度的支撑，使得总体系的第一阶失稳模态表现为各杆件的局部失稳。

真实发生的屈曲是无侧移还是有侧移取决于杆件局部刚度与体系整体刚度的相对关系。真实的结构中，纯框架一般是有侧移的，有支撑结构（斜杆或者剪力墙）一般采用增强支撑的刚度使之达到无侧移的要求。

判断支撑能否使之达到第一屈曲模态为无侧移的准则在钢标中给出，如下图所示：

可以这样理解上述公式：对于纯框架结构，因为侧移刚度小，在发生整体侧移变形时结构储存的应变能小，发生局部变形时内部的应变能相对更大，而外荷载较小时外力做功较小，因为输入能量与应变能相等，故而应变能更小的有侧移屈曲模态先出现。现在我们给纯框架增加一个支撑架做为水平向约束见下图所示：

为纯框架部分按有侧移失稳计算长度系数反算的承载力之和，即纯框架部分第i层发生有侧移失稳时的临界荷载，也可以理解为在第i层产生的负刚度正好抵消此层框架的侧移刚度。为纯框架部分无侧移失稳计算长度系数反算的承载力之和，即纯框架部分第i层无侧移失稳的临界荷载，也可以理解为产生的负刚度正好抵消此层框架杆件的局部变形刚度。

随着支撑架刚度的增加，第i层临界力由逐渐增加到，纯框架部分屈曲时的水平变形变到0，之后再增加支撑架的刚度就没有意义了，由前面提到的位移法列出屈曲方程可求出使屈曲模态由有侧移变为无侧移的最小刚度要求（道理上和前面用来将压杆计算长度减小为一半的支撑刚度计算相同），详细过程参《钢结构构件和框架的平面内稳定》（童根树），因为此系列文章强调物理意义与直观理解，所以我们着重做出物理直观上的解释。

屈曲时竖向力产生的负刚度与结构自身的弯曲刚度相等，当存在支撑架时，对于有侧移屈曲模态必然产生支撑作用，，为竖向力产生的负刚度，为纯框架部分自身的侧移刚度，为支撑架侧移刚度，所以有侧移屈曲荷载提高的量取决于支撑的刚度，当支撑的刚度使第一阶有侧移屈曲荷载提高到第一阶无侧移屈曲荷载时，会发生第一阶无侧移失稳。

支撑限制的是节点的水平位移，对于杆件局部弯曲产生的无侧移失稳没有帮助。我们用第1小节压杆顶设置水平支撑保证柱顶无平动所需的最小刚度做类比，可知对于纯框架结构，要保证某一层两端为不动铰支座，所需的支撑刚度也含有的形式，即支撑刚度是力P的线性函数，当为无侧移失稳时，P用无侧移计算长度反算的竖向力度量，当为有侧移失稳时，P用有侧移计算长度反算的竖向力度量，而有侧移失稳时所需的支撑刚度为0，所以支撑刚度可写成和和线性函数的形式，具体α和β的数值要经过复杂的计算，但我们只要把这个思路弄清楚就达到我们系列文章的目的了。

下图为一榀框架各阶有侧移、无侧移屈曲模态：

第1~4阶为有侧移屈曲模态，由小到大分别对应不同的屈曲荷载，要阻止这些屈曲的发生需要支撑架有不同的刚度，因为支撑架的作用是在层高位置处提供平动刚度，所以我们可以把支撑架简化为层高处的独立弹簧如下图所示：

如果每个独立弹簧的刚度达到了阻止前4阶屈曲模态所有标高平动的要求，则竖向力达到了出现第5阶屈曲的阈值，结构开始呈现无侧移失稳。

有侧移体系柱间相互支援

有侧移结构各柱的相互支援。如下图所示一个有侧移体系：

我们要求这个体系各杆的计算长度，就是求竖向力作用下的特征值问题，仍然采用之前的方法，用第1屈曲模态时各杆轴力反算各杆计算长度。结构总的侧移刚度为各柱的侧移刚度之和，而竖向力作用于哪个柱上对结构产生的负刚度都是相同的，所以只要保障竖向力总量不变，竖向力可以在各柱顶任意分配，各柱顶竖向力比例不同，但结构发生有侧移屈曲时总的竖向力不变。每种情况进行屈曲分析反算各柱计算长度，如把大部分力集中于左柱顶，其它三个柱顶只分配少量的竖向力，这样左柱求得的计算长度将减小，其它三柱的计算长度将增大，此时相当于受力较小柱对受力大的柱起到支撑作用。

确定柱顶竖向力分配时，我们也可以人为让不同的柱承担不同大小的力，例如4个柱顶受力均为P，彼此无相互支撑，我们知道每个柱的计算长度均为2.0，反算每个柱的屈曲承载力均为，4个柱子的总承载力为。  

保持4个柱顶受力均为P不变，我们也可以人为指定左柱计算长度为1.5，即左柱的屈曲承载力为，根据总的竖向承载能力不变这个条件，可以反算其它三柱的屈曲承载力，即其它三个柱计算长度系数为2.3。由上面推导我们可以看出，4个柱子计算长度均按2设计，与4个柱子按1.5、2.3、2.3、2.3设计都可以算出体系的二阶效应，都可以保证体系的安全。这个例子是通过增大支撑柱的计算长度来给被支撑柱提供支持，这种思路可以让我们灵活的改变各柱的截面大小，只要保证总的屈曲承载力不变就可以了。

最后有几个问题留给大家讨论，欢迎讨论区积极留言，与ALEX互动。

1、支撑达到什么要求时，纯框架变为无侧移失稳？

2、如何利用有移侧失稳柱子间的相互支撑主动控制各柱截面大小？

参考文献：

1. 钢结构稳定理论与设计（第六版） 陈骥

2. 钢结构构件和框架的平面内稳定 童根树

3. 钢结构设计标准 GB 50017-2017