前言

在上一篇结构位移计算原理中，全面的介绍了静定结构在荷载作用下、支座位移下、制造误差下、温度变化下的位移求解公式，废话不多说，下面讨论静定结构在这几种情况下位移计算的应用。

重难点

一

荷载作用下

1

基本知识

?

(1)图乘法公式：

I.梁和刚架，Δ=∑Ay₀/EI

II.桁架，Δ=∑F_NF_NPL/EA

III.组合结构，Δ=∑Ay₀/EI+∑F_NF_NPL/EA

(2)应用条件：

I.等截面直杆，EI为常数

II.两个M图中应有一个是直线

III.yc应取自直线图中

?(3)简单图形的面积与形心位置(记这三个图即可)

注：上图中的抛物线图形均为标准抛物线，即抛物线图形顶点处的切线均与基点平行，否则不能应用上面公式计算。

2

重点

①取用面积与形心位置时，需保证是标准抛物线图形。

例1.如图所示简支梁，受集中力与均布荷载，求右侧支座内的转角。

解析：该题中，图乘面积取自M_P图，图乘竖标取自M图，若将M_P图中的A₁+A₂视为标准抛物线图乘，将计算错误(因为抛物线A₂的顶点在A₂中线处)根据基本知识(3)中记忆的三个图形，应该将M_P图分解为三部分分别图乘。

当然本题图乘还可只分为两部分，一部分是A₁+A₃，另一部分是A₂，具体见④。

例2.如图所示悬臂梁受均布荷载，求C点的竖向位移。

注：本题涉及到图乘时弯矩图的分解，有两种分解方式，其一是按力的原因分解图乘(更能体现本质)，其二是按弯矩叠加法分解图乘(更加简便，推荐)

可以说，凡是某段弯矩图应用到叠加法的，图乘时就都需要进行图形分解图乘。

②梯形公式

在具体图乘中，关于无折角的直线段弯矩图图乘，分为以下六种：

不论是哪一种，现给出统一的计算公式，称为梯形公式：

设杆件长度为L，抗弯刚度为EI，则有

Δ=(2ac+2bd+ad+bc)L/6EI

式中各个乘积项的正负号取决于图乘的两项是否在基线的同侧，乘积同侧为正，异侧为负。

注：强烈建议熟记该公式，在弯矩图形复杂，形心位置难以确认时用该公式会非常简便。

③某直杆刚度有分段时，静定结构内力与杆件刚度无关，但位移与刚度有关。要分段图乘，保证图乘的某段刚度恒定。

④注意yc只能取自直线图形，这里的直线指的是单段直线。

如图，因为M_P的形心位置很好确定，就在中点处，所以图乘选取M_P的面积×M的竖标。若要以M图面积×M_P图的竖标，不能整体图乘，必须分段。感兴趣可以自己试算一下。

二

支座位移下

仅支座位移下，W_外=1×Δ+ΣR_c×Δ_c=0

注：因为许多教材给出计算支座位移下的位移公式为Δ=-ΣR_cΔ_c，虽然仅仅只是作了一个简单的移项，但我个人并不建议大家记教材上的这个公式，因为力学最容易搞混的就是正负号，这里我们从公式的原理出发，即W_外=0，只要知晓这个原理，公式的准确记忆与应用是水到渠成的事情。

在此引入弹性支座或弹性约束下的位移计算，弹性支座(约束)分为两类，一类是抗拉压弹性支座(约束)，一类是抗转动弹性支座(约束)，弹性支座下的位移计算与狭义的支座位移类似，都是支座处(约束处)发生了位移，即支座力(约束力)做了虚功，把握住这个本质，我们看下面几道例题：

例1.

  例2.

注：该题有两个弹性约束，一个是B点的抗拉弹簧、一个是C点的抗扭弹簧，要求该结构在荷载下的位移，要注意到B、C两点的弹簧约束力所做的外力虚功，它本质上同支座反力在支座位移下做的外力虚功是相同的，不同点在于，支座位移下的虚功中，支座位移(实际位移)是直接已知的；而在弹性约束中，弹簧的实际位移需要你求解，对抗拉弹簧，F=kΔ；对抗扭弹簧，M=kθ；弹簧的实际位移依靠Mp图求解即可。重点要注意的是弹簧约束力所做功的正负问题。如本例中B点抗拉弹簧在实际状态下被压缩，即位移方向竖直向下，M图中弹簧反力方向向上，故其做的外力虚功为负；C点的抗扭弹簧在实际状态中被拉长，位移方向为向外，M图中弹簧反力方向也向外，故其所作的外力虚功为正。

思考题：如图，试问仅在支座位移下弹簧约束力对外力虚功有贡献项吗？

思考题

解析：静定结构在支座位移下无 内力，易知弹簧在支座位移下无反力，因此对弹簧而言，其实际位移=支座位移下的力/弹簧刚度=0，弹簧约束力对外力虚功没有贡献项。

思考：静定结构在温度作用下，弹簧约束力对外力虚功有贡献项吗？

三

温度作用下

应用重点：同上，仍是做功的正负问题，具体为：实际状态温度变化引起的变形与虚拟状态内力相应方向一致时，所做虚功为正，否则，所做虚功为负。另一个注意点，即使是受弯结构，也不能略去轴向变形的影响。

静定结构温度变化满足热胀冷缩原则，对受弯杆，哪侧温度高，哪侧纤维受拉，即往温度高的一侧弯曲变形；对二力杆，平均温度＞0，杆件拉长，平均温度＜0，杆件压缩，平均温度=0，杆件长度不变。

解析：温度变化等非荷载因素不引起静定结构内力，故FNAB=0，在C铰两侧施加一对单位力偶，内力图如左图所示，因为仅AB杆有温度变化，故仅考虑AB杆的变形虚功项，有

φ_t=Σαt₀A_FN=αt×2L×(1/L)=2αt(方向同M图所设方向)

四

制造误差下

一般考题仅涉及桁架结构，或者说仅涉及二力杆的制造误差。

五

各因素综合作用下

有哪几项因素参与做虚功，就将哪几项都考虑进去，原则仍是W_外=W_变形

小结

关于本章在考研中的考法，单独命题以小题为主，因为后续某些章节会用到本章知识，故本章内容主要融入力法，以及动力学中柔度法建立质量运动方程的求解中，位移求解正确与否，影响的不仅是小题分数，更重要的是关系到这两种大题能否做对。

具体来讲荷载作用下的位移求解是重中之重，它涉及面最广，也最常规，也是大家在本章训练最多类型的题目，所以考研若要考荷载下的位移计算，一般会稍微变点花样，比如采用弹性支座等。或综合出题，如荷载+支座位移、荷载+温度变化等。支座位移与温度变化下的位移计算同样重要，考题要想有一定的区分度，必然会在大家的薄弱地方设置题目，故这两类也须非常熟练。制造误差下的位移计算考频很小，题目较为简单，稍微练两道题目即可。

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