朗肯土压力理论
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2022年09月23日 13:55:32
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1.朗肯土压力理论的假设 1857年英国学者朗肯(Rankine)研究了土体在自重作用下发生平面应变时达到极限平衡的应力状态,建立了计算土压力的理论。由于其概念明确,方法简便,至今仍被广泛应用。 朗肯理论的基本假设: (1)墙本身是刚性的,不考虑墙身的变形。 (2)墙后填土延伸到无限远处,填土表面水平。 (3)墙背垂直光滑,墙后土体达到极限平衡状态时所产生的两组破裂面不受墙身的影响。

1.朗肯土压力理论的假设

1857年英国学者朗肯(Rankine)研究了土体在自重作用下发生平面应变时达到极限平衡的应力状态,建立了计算土压力的理论。由于其概念明确,方法简便,至今仍被广泛应用。

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朗肯理论的基本假设
1)墙本身是刚性的,不考虑墙身的变形。
2)墙后填土延伸到无限远处,填土表面水平。
3)墙背垂直光滑,墙后土体达到极限平衡状态时所产生的两组破裂面不受墙身的影响。
4)土体为均质各向同性体。

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2.极限状态
(1)主动朗肯状态

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如上图所示,在墙后土体中深度Z处任取一单元体,当挡土墙静止不动时,则两个主应力分别为:

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(因为已假设墙背是光滑的、直立的,所以在单元上不存在剪应力。)
该应力状态仅由填土的自重产生,故此时土体处于弹性状态,其相应的莫尔圆如下图所示的圆Ⅰ,一定处于填土抗剪强度曲线之下。

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当挡土墙离开填土向前发生微小的转动或位移时,σ1z=γz不变,而σ3x却不断减少,相应的莫尔圆也在逐步扩大。当位移量达到一定值时,σ3减少到σ3f,由σ3f与σ1=γz构成的应力圆与抗剪强度曲线相切,如图Ⅱ所示,称为主动极限应力圆。此时,土中各点均处于极限平衡状态,达到最小的小主应力σ3f称为朗肯主动土压力pa。与此同时,土体中存在过墙踵的滑动面(剪切破坏面),滑动面与大主应力作用平面(水平面)的夹角为45o+φ/2。
 
 
(2)被动朗肯状态

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当挡土墙在外力作用下推向土体时,σx不断增加,直至超过σz而变成大主应力,而σz=γz变为小主应力,且始终保持不变。当σx增大到σ1f时,由σ1fσz=γz构成的应力圆与抗剪强度曲线相切,如图Ⅱ所示,称为被动极限应力圆。此时,土体处于被动极限平衡状态,称为被动朗肯状态。最大值σ1f称为朗肯被动土压力pp,此时土体中存在过墙踵的滑动面,与大主应力作用面(竖直面)的夹角为45o+φ/2,则与水平面的夹角为45o-φ/2。


3.朗肯主动土压力计算公式 
以前,我们推出土的极限平衡条件为:

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1)无粘性土的主动土压力

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对于无粘性土,C=0,则主动土压力强度

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主动土压力强度与深度成正比,沿墙高呈三角形分布,如图所示。


(2)粘性土的主动土压力

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对于粘性土,,则主动土压力为:

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4.朗肯被动土压力计算公式
当挡土墙在外力作用下推向土体,并达到极限平衡状态时,称为被动朗肯状态。此时,被动土压力强度pp是大主应力,而σz=γz是小主应力,则根据极限平衡条件有:

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1)无粘性土的被动土压力

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对于无粘性土,C=0,则被动土压力强度为:

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被动土压力强度与Z成正比,沿墙高呈三角形分布,如图所示。


2)粘性土被动土压力的计算

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对于粘性土,则被动土压力强度为:

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由两部分叠加而成,如图所示,则单位长上的被动土压力为:

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5.几种情况下朗肯土压力计算

1)填土面有超载

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当填土面有均布荷载作用时,如图所示。通常将均布荷载换算成当量土重,即用假想的土重代替均布荷载,则当量土层厚度为:

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主动土压力的计算
主动土压力强度为:

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由三部分组成,分两种情况:
a)第一种情况,

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b)第二种情况,

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被动土压力的计算
被动土压力强度为:

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由三部分组成,如下图所示,呈梯形分布。

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则单位墙长的被动土压力为:

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其作用方向垂直于墙背,作用点通过梯形的形心。

2)成层填土时

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若墙背直立,光滑,墙后填土面水平,则可采用郎肯土压力理论,图为多层土的情况,其重度,粘聚力C和内摩擦角各不相同。
 
主动土压力的计算
a)第一层

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b)第二层

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c)第三层

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有了主动土压力的分布图形,可通过求图形的面积和形心的方法来求主动土压力的大小及作用点(作用方向垂直墙背)。

被动土压力的计算

a)第一层

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b)第二层

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c)第三层

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有了被动土压力分布曲线,可通过求图形面积和形心的方法来求被动土压力的大小及作用点。  
 
3)墙后填土中有地下水时
水土分算法

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水土合算法
水土合算是指地下水位以下取饱和重度γsat和总应力强度指标cφ来计算总的水土压力,水压力不再单独计算。
对于砂土和粉土,一般采用水土分算法;对于粘性土,可采用水土分算法,也可采用水土合算法。
 
4)填土表面倾斜时土压力计算

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当填土表面与水平面夹角β0时,如果假设土压力作用方向与填土倾斜表面平行,则也符合朗肯土压力条件,应用朗肯理论和莫尔应力圆可导出土压力计算公式,又称为应力圆法,其无粘性土主动、被动土压力强度计算公式如下:

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总主动、被动土压力计算公式为:

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显然当β0时,结果与前述朗肯公式相同。

以上介绍的朗肯土压力理论应用弹性半无限土体的应力状态,根据土的极限平衡理论推导并计算土压力。其概念明确,计算公式简便。但由于假定墙背垂直、光滑、填土表面水平,使计算条件和适用范围受到限制。应用朗肯理论计算土压力,其结果主动土压力值偏大,被动土压力值偏小,因而是偏于安全的。

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