设计高层建筑时，我们对整体抗倾覆验算关注度不是很高，因为这项指标似乎很容易算过。有一天，有人问我，你们这栋楼高宽比这么大，抗倾覆安全系数是多少？我在脑子里回想了整个分析过程，发现并没有复核抗倾覆安全系数哇。

而且，规范里面并没有直接规定高层建筑的抗倾覆安全系数。这究竟是怎么回事呢？如果说，规范出现了与抗倾覆安全系数相关的规定，我想大概是这一条。

《高规》第12.1.7条，“在重力荷载与水平荷载标准值或重力荷载代表值与多遇地震标准值共同作用下，高宽比大于4的高层建筑，基础底面不宜出现零应力区；高宽比不大于4的高层建筑，零应力区面积不应超过基础底面面积的15％”；

条文说明也明确了，“满足本条规定时，高层建筑结构的抗倾覆能力具有足够的安全储备，不需再验算结构的整体倾覆”。

我不禁要想，安全储备究竟有多少呢？零应力区与抗倾覆安全系数之间有什么关系呢？

如果我们留意YJK的计算结果，YJK其实给出了抗倾覆安全系数。

                           

图1

接下来，我们就来推导一下，抗倾覆安全系数与零应力区的关系，过程并不复杂。

01.抗倾覆安全系数与零应力区的关系

图2

图3

将风荷载和地震作用沿建筑高度等效为倒三角形，令总水平力为F₀；假定裙房高度为h1，塔楼在裙房以上高度为H，地下室高度为h2，嵌固端位于地下室顶板（图2）；则倾覆力矩M_F0是指水平力对基础底面产生的力矩：

M_F0= F₀(2(H+h1)/3+h2)  （1）

抗倾覆力矩 M _G 是指竖向力对基础边缘产生的力矩；假定竖向力合力中心与基础底面形心偏心距为 e ，则：

M_G=G(B/2-e)   （2）

设X为地基反力的分布宽度，则零应力区长度为B-X，如图3所示，则偏心距：

E₀=B/2-X/3  （3）

同时，基础底面反力的合力等于G，以G在基础底面的作用点取矩可得M_F0=G(E₀-e)，因此：

E₀= M_F0/G+e（4）

由式（3）等于式（4），可得：

X=3B/2-3(M_F0/G+e)  （5）

零应力区与基础底面积之比可定义为：

μ=(B-X)/B   （6）

将X代入，则：

μ =3 M_F0/GB+e/B-1/2   （7）

根据式（2），可得GB=2 (M_G+Ge)，

代入式（7）：

μ=-1/2(1-(3M _F0+Ge)/( M_G+Ge) （8）

式（8）即为零应力区与基础底面之比μ与倾覆力矩M _F0、抗倾覆力矩M_G及竖向力偏心距e之间的关系。

我们将上式进一步简化，令上部结构综合质心偏心率为k，则偏心距可表达为e=kB；Ge=kGB；根据式（2），M_G=G(B/2-e)=GB(0.5-k).

令α= Ge/M_G=k/(0.5-k)，假设k=5%，则α=1/9;

令倾覆系数β= M_F0/ M_G，则抗倾覆安全系数为1/β；最终得到μ的表达式为：

μ=-(1-(3β+α)/(1+α))/2    （9）

这里有个诡异的地方是：高宽比>4.0时，偏心率k对抗倾覆安全系数1/β竟然无影响。问题在哪里呢？因为我们推导公式时，假定基础反力为三角形分布，但事实上，零应力区面积为零，基础反力分布更可能为梯形。

 

综合来看，大致的结论如下：

 

1)对高宽比不大于4的高层建筑，零应力区面积不大于15%，抗倾覆安全系数应大于2.3；

 

2)高宽比大于4的高层建筑，不出现零应力区，则抗倾覆安全系数应大于3.0；

 

3)结构偏置，会导致抗倾覆安全系数降低。

 

02.YJK如何计算？

 

1）YJK实际也是按上述方法计算的，即假定水平荷载为倒三角形分布，合理作用点位置在2/3H，根据这个假定，我们用水平力基底剪力标准值，乘以2/3的结构高度，就可以得到倾覆力矩M_F0；

 

2）软件分别采用风和地震参与的标准组合进行计算，对风荷载组合，活载组合系数取0.7，对地震组合，活荷载乘以重力荷载代表值系数；根据这一条，可以得到竖向荷载代表值G。

 

3）抗倾覆力矩M_G计算时，程序可以考虑塔楼偏置的影响，抗倾覆力矩的力臂根据综合质心来确定，这在YJK中是很容易得到的。

 

4）程序算零应力区时，区分有裙房和无裙房两种情况，有裙房情况，取综合质心距结构边最短距离的两倍为底层底面宽度；无裙房只有塔楼情况，则取底层实际宽度。

图4

具体来说，当无裙房时，零应力区比μ=1-3m/B(1- M_F0/M_G);当有裙房时，底层宽度B取综合质心距边缘最短距离的两倍，则B=2m，零应力区比μ= (3M_F0/M_G-1)/2.

 

这里的计算公式，和上一部分我们推导的公式其实是一致的，不同之处仅限于对偏心的描述，这里用的是m，我们用的是e.

 

03.其他问题

1）倾覆的计算是非常简单的，根据图4，塔楼偏置越严重，倾覆力矩不变，但抗倾覆力矩减小，所以倾覆安全系数减小，零应力区变大。

2）如果零应力区计算不满足要求怎么办？一个很直观的办法，加大基础宽度。客观上来说，加大基础埋深，也可以提高抗倾覆安全系数，减小零应力区，但软件计算是不考虑埋深影响的。另外，设置抗拔桩，也可以改善零应力分布。

3）超高层建筑基础的零应力区问题，与柱下独立基础的零应力区问题，本质是一样的，都由竖向偏心荷载导致的应力分布不均，以及土体不能承受拉力引起。当基础底面形状为矩形且竖向力偏心距大于1/6的基础宽度时，基础将会出现零应力区。

4）以深圳地区为例，7度区地震作用剪重比约为1.5%；基本风压0.75kPa，B类粗糙度，风载作用剪重比约为1.875%（顺风控制时）；则不同高宽比单塔建筑对应的抗倾覆安全系数如下表所示：

由此可见，超高层建筑的抗倾覆稳定性是比较容易满足的。即使高宽比为12，抗倾覆安全系数在3.0以上，基础零应力区基本也为零，满足规范要求。

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