1 薄壁箱梁位移模式 曲线梁桥在城市立交桥及交通干线上都是经常遇到的结构形式（见图1）。计算曲线梁结构当然可以采用板壳单元进行模拟分析，其优点是能够计算整体和局部效应，考虑因素全面，但缺点是计算量大，尤其是结果分析和使用麻烦，不符合工程设计习惯和要求，配筋及承载力验算困难。所以，一般在设计及施工控制时，更多地采用梁单元计算。显然，采用曲线梁单元比采用直线梁单元具有更高的模拟精度，而对于薄壁曲线箱梁，则除了考虑常规的受力特性外，还要考虑约束扭转和畸变效应，所以其单元节点自由度以及单元刚度矩阵比普通曲线梁单元要复杂一些。
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薄壁箱梁位移模式
曲线梁桥在城市立交桥及交通干线上都是经常遇到的结构形式（见图1）。计算曲线梁结构当然可以采用板壳单元进行模拟分析，其优点是能够计算整体和局部效应，考虑因素全面，但缺点是计算量大，尤其是结果分析和使用麻烦，不符合工程设计习惯和要求，配筋及承载力验算困难。所以，一般在设计及施工控制时，更多地采用梁单元计算。显然，采用曲线梁单元比采用直线梁单元具有更高的模拟精度，而对于薄壁曲线箱梁，则除了考虑常规的受力特性外，还要考虑约束扭转和畸变效应，所以其单元节点自由度以及单元刚度矩阵比普通曲线梁单元要复杂一些。
图1 曲线梁桥
对于图2所示的单箱单室箱梁，其节点广义位移及对应的广义内力为：
其中：{??, ??, ??, ?? ?? , ?? ?? , ?? ?? }为常规的 3 个平移和 3 个转角自由度，{?? ?? ,?? ?? , ??, ?? ?? , ?? ?? , ?? ?? }为对应的 6 个内力， ?? 为截面畸变， W 1 和 W 2 为扭转翘曲和畸变翘曲， M d 为畸变力矩， B 1 和 B 2 为扭转翘曲双力矩和畸变翘曲双力矩。
广义内力与广义位移的关系为：
式中： K =1/ R 为梁的初曲率， I cij 、I wij （ i =1,2; j=1,2）为横截面广义抗扭惯性矩和抗翘曲惯性矩。对曲线箱梁约束扭转理论感兴趣的读者可参考有关文献，如本文作者博士学位论文等，此处不赘述。
图2 箱梁横截面及位移模式示意图
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薄壁曲线箱梁单元节点位移及插值函数
要建立曲线箱梁单元刚度矩阵，首先要考虑采用合适的位移插值函数。对于常规的挠曲自由度，如果是直线梁，则为满足其连续性要求，需采用三次多项式作为插值函数。但对于曲线梁，由于弯扭耦合，挠曲位移变化规律更加复杂，对连续性要求更高，需采用高阶多项式形式作为插值函数，本文采用五阶多项式。对于约束扭转和畸变相关的位移，根据其对连续性的要求，采用三次多项式即可。
由于五阶多项式需要包含6个自由度才能完备，所以单元除了两端节点i和j之外，还在中间设置一个节点 k ，如图3所示。
图3 曲线箱梁单元模型
于是可得单元节点自由度向量为：
如上所述，对 u、v 采用五次多项式，其余采用三次多项式：
v 与 u 相同，其余与 w 相同。 N 1 ~ N 6 为五次多项式形函数， H 1 ~ H 4 为三次多项式形函数。写成矩阵形式：
式中：[ N ]为形函数矩阵，由。 N 1 ~ N 6 和 H 1 ~ H 4 构成。
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薄壁曲线箱梁单元刚度矩阵
首先推导单位长度梁段的应变能。由于多数读者对弯曲应变能较为熟悉，此处略去推导。只推导剪切应变能和翘曲应变能。
剪切应变能：
设：
则：
类似地有翘曲应变能：
式中：
畸变应变能：
其中 EA d 为抗畸变刚度。
设：广义内力向量{ σ }，广义应变向量{ ε }和广义弹性矩阵[ C ]为：
则：
将几何方程（应变—位移关系）的形函数代入：
[ B ]为应变矩阵或称几何矩阵
设：
L 为单元轴线长，则：
式中：
为单元刚度矩阵
关于形函数 N 1 ~ N 6 和 H 1 ~ H 4 等推导方法简介：
设：
因：
解出：
于是：
对比前面的w表达式可知：
N 1 ~ N 6 可类似地导出。
由于中间节点 k 的自由度只与 i、j 节点相关，因此可以采用所谓“静力凝聚”方法消去k节点的14个自由度，将[ K ] 32×32 变为18×18的矩阵，从而减小了线性方程的未知量数目。
设：
节点力：
由单元平衡方程：
得：
由式(12)可得：
代入式(13)：
考虑[ K ijk ] T = [K ijk ]，因此，若令：
则有：
上式即为静力凝聚后的单刚和节点力。
根据静力凝聚后的单元方程式(14)，通过坐标变换，组装总刚度矩阵和荷载向量，即可得到曲线箱梁的有限元总体平衡方程
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结语
本文只是简要给出曲线箱梁的有限元方程，供对此感兴趣的读者参考。与采用板壳单元或者空间实体元方式相比，采用这种单元进行结构分析，不仅大大减少计算工作量，更重要的是可以进行把预应力、混凝土收缩徐变、承载力验算等内容融入计算，为工程设计提供依据。
2022.4.7 于海南
作者简介： 李乔 ，西南交通大学教授，博士生导师，在中国公路学会桥梁分会等学术组织任常务理事或理事，在多个重要学术期刊任编委会委员。曾任国务院学科评议组成员、全国土木工程专业评估委员会委员、国家科学技术奖会评专家等。研究兴趣为桥梁结构力学行为、大跨斜拉桥结构理论及施工控制方法等。主要理论成果：提出结构的过程-状态相关性原理及曲线箱梁空间分析理论等。主要技术成果：研发桥梁结构分析系统BSAS、桥梁非线性分析系统NLABS及曲线桥分析系统ASCB等软件系统，长期在多家设计院使用。
来源：西南交大桥梁 / 李乔
