屋盖结构作为一种备受瞩目的结构形式,是衡量一个国家建筑科技水平的重要标志之一,也是一个国家科技文明发展程度的象征。由于屋盖结构质量轻柔,自振频率一般较低,在复杂的风荷载作用下容易发生较大的振动和变形,且具有非线性和柔性的特点,风荷载往往是该类结构设计中的主要控制荷载,甚至超过地震作用成为该类结构设计中的最不利荷载。

屋盖结构的抗风研究主要集中在分析结构的风荷载特性、风振响应及等效静风荷载。在风工程领域,脉动风荷载是一种平稳随机分布的动荷载,其响应根据随机振动理论求解且为均方根形式。而在结构设计中,对结构施加的风荷载往往是以静力荷载的形式参与工况组合,按静力方程求解,即需要将随机脉动风荷载转化为等效静风荷载,这使得等效静风荷载的研究逐渐成为结构抗风设计的核心问题。国内外诸多学者对其进行了相关研究,然而,目前的研究大多为单目标等效方法,只能对单个控制点的目标响应进行等效,不同的目标响应得到的等效静风荷载分布形式也是不同的,而屋盖结构节点杆件众多,所关心的响应也很多,传统方法中一个控制点目标难以实现对多个响应的等效。因此,基于屋盖结构多荷载形态、多响应振型和多等效目标的特点,有必要进行基于最小二乘原理的多目标等效静风荷载研究。

本文研究了屋盖结构的多目标等效静风荷载计算方法,根据屋盖结构的分区提出了分区-多目标法,讨论了加权约束方程的必要性。之后,以实际工程为例,采用分区-多目标法计算屋盖结构等效静风荷载,对比分析了构造加权约束条件对屋盖结构等效风压分布合理性及等效响应整体误差的影响,验证了所提方法的合理性。

2.1 屋盖结构分区方法

许多学者对屋盖结构的分区展开了研究,一般是对测点风压系数进行聚类分析,根据测点的聚类分析结果进行屋盖分区,在分区内用一个风压值即可表述屋盖风压特性。但由于屋盖结构具有多响应目标、多振型参与等特点,该分区方法不一定适用于屋盖结构等效静风荷载的分区。

针对屋盖结构等效静风荷载的分区,应根据屋盖结构的形态特点、风压特性及风振响应结果划分分区,以满足屋盖结构的风压特性及风振响应特性,使分区等效静风荷载的静力响应与实际风振响应尽可能一致。

基于屋盖结构形态及测点平均风压系数结果,对屋盖结构屋面在 Rhino 中进行分区。Rhino 是由美国 Robert McNeel 公司推出的一款基于 NURBS 为主的三维建模软件,具备强大的曲线曲面建模功能,运用其参数化编程插件 Grasshopper 生成各分区的边界数据坐标并构造分区多边形。之后,运用 Inpolygon 函数判断测点、节点的从属分区号,并生成节点-分区对应矩阵、测点-分区对应矩阵。

2.2 分区等效静风荷载

一般,单目标等效或多目标等效得到的均为节点的等效静风荷载。为了方便工程应用,需转化为分区的等效静风荷载,可通过分区内节点的面积加权平均计算:

式中: P _{er, m} 为第 m 个分区的等效静风荷载; P _{e, mi} 为第 m 个分区中第 i 个节点的等效静风荷载; A _i 为第 m 个分区中第 i 个节点的节点面积。

式(1)写成矩阵形式可表示为:

式中: [ Δ _R ] 为节点-分区等效静风荷载转换矩阵。

2.3 分区-多目标等效静风荷载

屋盖结构一般造型复杂,采用脉动风的本征模态或单目标 ELRC 等效静风荷载组成的荷载分布向量有时难以全面地描述屋盖结构的荷载分布形式。针对屋盖结构的多目标等效静风荷载,本文根据屋盖结构的形态特点及风压特性对屋盖结构进行分区,进而提出了分区-多目标等效静风荷载计算方法。

分区-多目标等效方法直接从分区等效静风压出发,通过多目标等效使分区等效风压的静力响应与目标响应尽可能接近,若分区等效静风压可实现  n 个极值响应的等效,则保证所有目标等效的方程组满足式(3):

其中 [ Δ _r ] = [ A ] [ D _r ] 

式中: { P _er } 为分区等效静风荷载,是待求矩阵; 为第 i 个等效目标的影响线系数向量; 为第 i  个等效目标的脉动风极值响应; [ D _r ] 为分区-节点对应矩阵; [ A ] 为节点面积矩阵; [ Δ _r ] 为分区-节点荷载转换矩阵。

将式(3)用矩阵形式表示为: 

在分区多目标等效中,采用式(4)计算分区等效静风荷载,等效目标数量不应少于屋盖结构的分区数量,否则为欠定方程组,具有无穷多个解;一般等效目标数量远多于屋盖结构的分区数量,此时为超定方程组,只能得到分区等效静风荷载 { P _er } 的最小二乘解。

2.4 多目标等效的加权约束方程

采用多目标等效理论计算等效静风荷载,尽管能保证目标响应的等效,但等效静风荷载的分布可能不甚合理,在局部区域存在远超实际情况的静风压。因此,为了保证分区等效静风压分布的合理性,根据单目标等效方法建立的弹性恢复力构造约束方程中,必要时也可引入权重因子,在约束方程的条件下通过求解目标函数的最小值确定等效静风荷载的分布,此时响应误差函数和约束条件为:

式中: [ k _e ] 为目标响应权重因子组成的对角矩阵,当所有等效目标的权重因子相同时, [ k _e ] 取单位矩阵,考虑关键目标响应时,对关键目标响应权重因子取 1,非关键目标响应权重因子取值不大于 1 ; 为分区脉动风压均方根。

当以分区的脉动风压均方根表示等效静风荷载基本向量分布模式时,式(5)可改写为:

式中: 为分区脉动风压均方根值矩阵,是对角矩阵; { c }为风压分布系数,一般取 c _min = - g , c _max = g 。

此时的分区等效静风荷载为:

2.5 风振响应误差判断标准

为验证等效静风荷载的计算精度,需引入误差指标,本文假设时程分析法计算的风振响应是精确值,将分区多目标等效静风荷载计算风振响应的结果与时程分析法进行比较,并进行误差判断。为了从整体上反映风振响应误差,对于响应向量,可采用向量间的长度比、夹角及相对误差来综合衡量各响应向量之间的误差。

在欧氏空间中,向量 { X } 的长度可定义为 。则向量 { X } 和 { Y } 之间的长度比 λ 、夹角 θ 及相对误差 e 可定义如下:

夹角 θ 可判断两向量的空间分布规律,当其分布规律完全相同时,夹角 θ = 0°;长度比 λ 和相对误差 e 则反映了两个向量数值上的总体误差,当长度比 λ = 1, 相对误差 e = 0 时, 表明两向量完全相同。

为研究所提出方法的合理性,以某实际工程折板型桁架屋盖结构为研究对象,根据频域内 CQC 法计算脉动极值响应,采用分区-多目标法计算等效静风荷载,并对比了不同加权约束条件下的等效静风荷载的分布形式和等效静风响应误差。

3.1 工程概况

本算例为某会展中心钢结构展厅,展厅屋盖采用桁架结构,桁架呈折板型,由 16 个形态相同的屋盖单元组成。对于每个屋盖单元,在屋盖单元中央布置一榀平面主桁架,主桁架两端均连接于钢柱上,垂直主桁架方向布置次桁架,以满足折板造型需求。屋盖结构长×宽为 140.8 m ×139.2 m,图 1 为折板型桁架屋盖结构模型。

图 1 折板型桁架屋盖结构模型

本节算例的屋盖结构风振响应分析及等效静风荷载研究所需的风荷载信息来自风洞试验。风洞试验在广东省建筑科学研究院 CGB-1 风洞实验室完成,根据刚性模型的同步测压试验得出测压孔的风压系数时程。风洞试验的地貌类型为 B 类,50 年重现期的基本风压为 0.85 kPa,参考点高度 50 m,模型比例 1∶250,参考高度处试验风速 8.7 m/s(对应于风洞试验 20 cm 处),结构阻尼比取为 0.02。

根据风洞试验相关资料,折板型桁架屋盖结构共布置 424 个测点,试验测得 0° ~ 350° 共 36 个风向角(间隔 10°),本节算例取 0° 和 270° 两个风向角进行等效静风荷载分析。图 2a 为屋盖结构风洞试验风向角示意,图 2b 给出了风洞试验 B 类边界层0.6 m 高度处的归一化的功率谱曲线。从图 2a、2b可以看出,风洞试验风速时程的功率谱与 Davenport谱(见 GB 50009—2012《建筑结构荷载规范》)吻合较好。图 2c 及图 2d 分别为风洞试验 A 类边界层平均速度剖面及湍流度剖面。

a—屋盖结构风洞试验风向角; b—B 类边界风洞 0.6 m 高度处功率谱曲线; c—风洞试验平均速度剖面; d—风洞试验湍流度剖面。

图 2 风洞试验数据

3.2 屋盖结构分区

根据折板型屋盖结构表面测点两个风向角下的风压系数分布情况,对屋盖结构划分如图 3 所示的分区,图 4、图 5 为折板型桁架屋盖结构在两个风向角下的平均风压分布及脉动风压分布,表 1 为折板型桁架屋盖结构分区等效最大正压、最大负压统计情况。

图 3 折板型桁架屋盖结构分区

a—0° 风向角; b—270° 风向角。

图 4 屋盖结构分区平均静风荷载 kPa

a—0° 风向角; b—270° 风向角。

图 5 屋盖结构分区脉动风荷载均方根 kPa

表 1 屋盖结构分区等效风压极值统计情况

对图 4、图 5 中的分区平均风压及脉动风压均方根的分布形式进行分析,可以看出,分区风压分布云图的颜色变化是均匀连续的,因此在进行分区-多目标等效时或对多目标等效静风荷载分区化时,计算的分区等效静风荷载也应符合这一分布规律,则可认为等效静风荷载的分布比较合理。

3.3 分区-多目标等效静风荷载分析

采用分区-多目标方法计算分区等效静风荷载,从分区脉动风压均方根出发构造荷载分布形式向量,并考虑分区-约束多目标、分区-加权约束多目标等计算方法,其中加权条件设置取前 200 个最大正位移和 20 个最大负位移为关键等效目标,其权重因子取为 1,其他非关键等效目标的权重因子取为 0.1。

约束方程按式(6)构造,以系数形式设置约束范围,在进行约束多目标优化时将分布系数初值取为多目标等效组合系数,构造约束方程的分布系数范围为(-5,5)。

表 2、表 3 分别为折板型桁架屋盖结构采用分区-多目标方法计算的分区等效静风压极值统计情况及 Z 向等效静风响应整体误差判断。对表中结果分析可知,未构造约束条件的分区-多目标的等效响应的整体误差小,在两个风向角下的整体误差分别为 2.3%、16.53%,但等效风压极值偏大,最大极值风压分别为-4.17,-7.79 kPa;对分区-多目标法的组合系数进行约束后,极值风压得到明显的改善,且整体等效响应精度吻合较好。

表 2 折板型桁架屋盖结构分区-多目标法等效静风压极值

表 3 折板型桁架屋盖结构分区-多目标法等效静风响应整体误差判断

图 6、图 7 为折板型桁架屋盖结构在两个风向角下分区-多目标方法的分区等效静风荷载分布图,图 8、图 9 为对应的等效静风荷载 Z 向位移响应。对图 6 ~ 图 9 综合分析可知,采用加权约束的分区-多目标方法比未定义加权系数的分区-多目标方法,其分区等效静压的分布更加合理,主要表现为,脉动位移大的区域,相应的等效静风荷载也大,分区等效静风压分布均匀连续,且没有剧烈的突变。由图 8 和图 9 可知,三种方法位移响应的分布趋势大致相同,0° 风向角下最大响应发生在屋盖结构跨中区域,270°风向角下最大响应发生在屋盖结构迎风边缘的悬挑位置。从整体误差方面评估,由于考虑了加权约束方程,对关键等效目标的响应精度保证率较高,极值响应得到了很好的等效,但放松了非关键等效目标的响应精度,因此整体误差比约束的分区-多目标方法大一些,0°风向角下整体误差为7.78%,270° 风向角下的整体误差为 28.71%,采用分区-约束多目标的整体误差在两个风向角下分别为 2.47%、21.27%,约束之后的分区等效静风响应整体误差在可接受范围内。

a—多目标;b—约束多目标;c—加权约束多目标。 

图 6 0°风向角下屋盖结构分区-多目标法等效静风荷载分布 kPa

a—多目标; b—约束多目标; c—加权约束多目标。 

图 7 270° 风向角下屋盖结构分区-多目标法等效静风荷载分布 kPa

a—多目标; b—约束多目标; c—加权约束多目标。 

图 8 0°风向角下屋盖结构分区-多目标法等效静风荷载 Z 向位移响应 mm

a—多目标; b—约束多目标; c—加权约束多目标。 

图 9 270° 风向角下屋盖结构分区-多目标法等效静风荷载 Z 向位移响应 m

综上所述,采用分区-约束多目标及分区-加权约束多目标计算的分区等效静风荷载比较合理,且等效响应精度的响应误差未明显降低,对于本节的折板型桁架屋盖结构,采用分区-约束多目标和分区-加权约束多目标是计算屋盖结构等效静风荷载的可靠方法。

针对屋盖结构实际工程的等效静风荷载进行研究,以频域内 CQC 法计算脉动极值响应,基于多目标等效理论,针对传统多目标方法荷载向量难以较全面地描述屋盖结构风场特性的问题,根据屋盖结构形态特点及测点风压分布特性对屋盖结构进行分区,提出了以分区脉动风压为荷载分布模式的分区-多目标等效方法,建立了分区-多目标等效的加权约束方程。最后以某会展中心折板型桁架结构为例,分析了所提出的分区-多目标方法的等效静风荷载分布形式及等效响应精度,对比分析了加权约束方程的多目标等效适用性,得出以下几点结论: 

1) 针对屋盖结构实际工程的多目标等效静风荷载,未构造约束条件的多目标等效方法,等效响应精度最高,整体误差最小,但往往存在不合理的极值风压,风压变化剧烈且集中,不适用于实际工程应用,需对多目标等效方程构造约束条件。

2) 对多目标等效方程设置约束条件后,整体等效响应精度比未约束的多目标方法略有下降,但在可接受范围内,等效风压极值得到了有效的约束,风压变化平缓。设置关键等效目标的加权约束多目标方法中,关键目标的等效响应与风振响应吻合良好,且能进一步改善等效风压分布形式。

3) 本文提出的分区-加权约束多目标方法的等效静风荷载分布合理且等效响应精度高,分区等效风压分布均匀连续,实际应用时可采用分布系数对分区脉动风压进行约束,一般取峰值因子为分布系数约束范围,或可适当放宽约束范围以保证等效响应精度。