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Inversion of dynamic displacement response of cable in the whole field based on single vibration measurement
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Bin Xu a,c, Haoxiang Yang a, Danhui Dan b,*a:
c：Henan Province Engineering Research Center of Safety and Life Extension for Prestressed and Cable Structures
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Mechanical Systems and Signal Processing. if=8.934(2022年), JCR Q1
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Bin Xu, Haoxiang Yang, Danhui Dan*. (2023). Inversion of dynamic displacement response of cable in the whole field based on single vibration measurement. Mechanical Systems and Signal Processing. V195(2023):110292
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https://doi.org/10.1016/j.ymssp.2023.110292
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本文提出了一种 通过单个测点加速度响应监测信息反演拉索任意位置（全场域）的动位移响应的方法，解决了由于经济或安装困难等原因，无法测量拉索关键位置动力响应的问题。首先，通过拉索振动控制微分方程，推导出同时考虑拉索抗弯刚度、垂度、倾角、边界条件等因素的横向动位移和转角动位移的精确振型函数。该振型函数考虑因素全面，且无需进行数值求解，能够实现实时准确计算任意频率振型的要求。然后，基于精确振型函数，提出了基于振型幅值比值法的动位移反演方法，可实现频域内和时域内的拉索全场域内的动力响应的反演。最后，通过数值仿真方法和实索试验，验证了本方法在频域内和时域内都具有较好的反演效果，尤其在频域内的模态频率和外荷载频率处的反演效果更好，这些频率处的动位移响应幅值是拉索动位移的主要贡献成分。
?? 背景介绍
服役期结构的疲劳评估、振动控制、损伤识别等均与结构动态响应直接相关。为了实现对拉索结构的综合诊断和预测，需要准确测量关键位置处的结构动力响应。然而，由于实桥拉索的尺寸往往很大，高空安装测量装备既不安全，也不经济。因此传感器通常仅安装在拉索少数位置，更一般的情况下，仅仅在靠近主梁的拉索端部附近安装一个传感器，这使得拉索中很多关键位置处的动力响应无法直接获得。因此，使用有限测点的动位移响应精确反演拉索全场域内动位移响应对于实现拉索的健康监测至关重要。已有的响应反演方法主要是基于传递的概念，即通过在时域、频域或者小波域里构造传递矩阵和传递函数来实现期望位置的响应反演。
在时域内，
Kammer
[8] 最早提出了基于模态分析理论的结构动态响应反演方法。该方法采用
Markov 参数建立测量响应与反演响应的模态传递矩阵，采用最小二乘法，实现所需位置处的结构响应反演。为了建立传递函数，需要进行结构的振动测试，在实际工程中是难以实现的。
He 等
[9] 对上述方法进行了拓展，提出一种结合经验模态分解和间歇准则的结构响应反演方法。但该方法对传感器位置、结构振型均有较严格的要求，而且该方法不适用于周期荷载和密集模态。以上基于经验模态方法的选择高度依赖于工程师的经验，导致反演效果缺乏稳定性。在频域内，
Ribeiro 等
[12] 提出一种基于转换矩阵的响应反演方法，但使用该方法时需要知道荷载作用在结构上的具体位置，且要求传感器数量大于等于外部荷载的数量。
Law 等
[13] 进一步将基于转换矩阵的响应反演方法推广到子结构中，并将位移传递率推广到加速度传递率。该方法也需要已知激励位置，并建立结构有限元模型。另外，在响应反演过程中，傅立叶变换和逆变换的实施将会导致误差累积。
Eftekhar Azam 等
[14] 通过采用双重
KF ，提出了结构响应和未知输入的识别方法。在小波域内，
Li 和
Law
[15] 提出了一种利用离散小波变换的整体结构与子结构的响应反演方法。该方法也需要已知激励位置，并建立有限元模型。针对梁结构，
Mace
[16] 等将小波分解应用于时域信号，设计了一种脉冲响应滤波器，提出了基于小波的动力响应反演方法。该方法允许使用任意类型的传感器系统，并且波分解方法使传感器具有最佳间距，降低了对噪声和误差校准的敏感性。
为了反演足够精确的动力响应，以往方法均对使用的传感器的最少数量和安装位置有要求。而且，一些反演方法需要事先确定外部荷载或荷载位置，这导致在实际使用中不方便。尤其是对于桥梁拉索，传感器的数量和安装位置受到严格限制，很难满足上述方法的使用要求。另外，对于基于传递概念的结构响应反演方法，反演响应的准确性与模型精度紧密相关，因此，此类方法的关键是建立精确的拉索有限元模型。
?? 分析方法
?? 拉索精确振型函数
现有拉索动力分析，使用较为广泛的模型是张拉梁模型，拉索振型函数往往直接采用简支梁模型的正弦函数振型。但是，实际拉索与梁模型之间存在差异，正弦函数振型并不能完全考虑拉索的各种影响参数，从而无法准确的反映拉索的实际振型。对于结构的动位移反演，由于其幅值较小，如果振型函数不准确，则反演的结果就会存在较大误差。因此，需要得到能够充分反映实际拉索的振型函数。拉索横向动刚度理论可以充分考虑拉索的垂度、抗弯刚度、倾角、边界条件等因素，对实际拉索有比较全面的反映。因此，本节采用动刚度法，
基于拉索振动控制微分方程，推导出横向动位移和转角动位移的精确振型函数。
本文给出了两种长度拉索的动刚度振型与数值法振型和正弦函数振型的比较。由于本文方法计算振型时，本节方法与数值法振型吻合均比较好，验证了本文方法计算的拉索振型的准确性。不同长度的拉索，其振型并不完全相同，尤其是拉索端部，振型差异更显著。正弦函数振型与长索的动刚度振型更加接近，与短索相差较大。由此可见，正弦函数振型更适用于长索的分析。
图1 第2阶振型对比图
(1) 在建立拉索模型时，本文方法考虑了拉索的垂度、抗弯刚度、倾角等因素的影响，与实际拉索更加接近，得到的振型，更符合实际拉索。另外，动刚度理论是基于拉索的运动控制微分方程建立的，是一种精确方法，由此计算的振型函数更加准确。
(2) 传统方法得到的振型函数只能计算拉索模态频率处的振型，其他频率处的振型无法计算，本文中的振型函数可计算任意频率处的振型。
(3) 本文方法是基于公式法的计算，无需进行数值迭代，计算量小。
?? 拉索全场域动力响应反演方法
振型叠加法的基本原理为对于结构任意位移分量都可以由叠加规格振型相应的幅值求得，任意振型位移分量可由振型分量与振型幅值求得当拉索参数和索力给定后，拉索的振型即为已知。对于拉索的位移幅值向量，可以通过拉索监测信号获取。在频域内，拉索各点位移幅值比值与振型幅值比值相等，根据振型叠加原理，即可反演拉索全场域内的横向动位移和转角动位移。
横向动位移反演
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转角动位移反演
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?? 数值和试验验证
?? 拉索动力响应的有限元仿真
通过拉索动力响应的有限元仿真，探究了频域内拉索传递函数的主要特征，并验证了提出反演方法的可行性和准确性。在拉索动力响应仿真时，取不同长度的4组拉索，每组拉索分别施加4种工况的荷载。本文主要采用端部位移反演跨中位移。在选择测点时，兼顾测量精度和安装方便的要求，仿真拉索的测点均选择在距离拉索端部10m范围内。拉索估计点与测点的比值随频率的变化是一条光滑曲线，但在个别频率处，振型幅值的比值会异常增大。随着索长的增加，异常峰值点的个数也随之增加。为了消除这种突变峰值的影响，本文采用中值滤波减小这些异常峰值。经中值滤波后，异常峰值附近的比值明显降低，而其他位置处的比值保持不变。可见，中值滤波的方法可比较好的处理这类问题，避免了异常峰值对识别结果的影响。
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| 横向位移振型幅值比值滤波前后比较 |
转角位移振型幅值比值滤波前后比较 |
本文计算不同荷载工况下，4组拉索的0.4L处节点动位移的频域内的反演误差，并给出了测点固定时间仿真拉索动位移反演误差沿索长分布。从图2和图3中可以看出反演误差在拉索端部较大，这是由于当频率发生偏差时，拉索的横向位移振型在拉索端部有上翘的趋势，导致振型误差较大所引起。横向位移的反演误差随着索长的增加而有所增加，这与前面的结论一致。出现这种现象的主要原因是随着索长的增加，在关心的频率范围内，包含拉索的模态频率越多，误差累积越多。另外，随着索长的增加，测点与待反演点的距离越远，随着距离的增加，两者相关性也越弱，通过测点表征反演点的能力也越弱。对于转角动位移，在转角位移幅值较大的频率处，本文识别误差仍然较小。因此，本文转角动位移的反演方法对于这些位置处仍然是适用的。
图2 横向动位移反演误差沿索长分布
图3 转角动位移反演误差沿索长分布
?? 实索实验
实索试验采用索长
19.715m 的
PEJ15B-12 钢绞线挤压拉索，在缆索车间的张拉沟中进行水平张拉。拉索横截面如
Figure12 所示。实索试验中沿拉索长度方向布置
5 个加速度传感器，拉索两端安装压力环，用于测量拉索索力，其具体布置如
Figure13 所示。张拉试验实行
5 级张拉，张拉等级分别为拉索破断力的
30% ，
35% ，
40% ，
45% 和
50% 。激励采用在拉索跨中位置施加冲击荷载。
图4 实索实验现场布置图
无论是频域内还是时域内，本文提出的动位移反演方法均能用测点的动位移比较好的反演拉索其他位置处的动位移。反演结果的规律与仿真拉索的规律一致。从试验拉索的横向位移反演结果来看，本文提出的基于振型叠加法的位移反演方法有比较好的适用性和准确性。
?? 结论
本文基于振型叠加原理，提出了依靠拉索单个测点处的振动位移幅值（横向动位移幅值和转角动位移幅值）的监测精确反演拉索全场域内的动位移的方法。首先，基于拉索振动控制微分方程，分别推导出了精确的拉索横向动位移和转角动位移振型函数。该振型函数考虑了拉索的垂度、抗弯刚度、倾角等因素，使计算振型更加准确。然后，基于此振型函数给出了节点振型幅值比值法反演拉索全场域内动位移的反演方法。最后，通过数值仿真方法和实索试验，验证了本文方法反演动位移的准确性和可行性。
本文提出的精确动位移振型函数与动刚度数值法振型吻合，但本文方法无需数值迭代，计算量小。同时，相较于传统方法得到的振型函数只能计算拉索模态频率处的振型，本文提出的振型函数可计算任意频率处的振型。
拉索的转角位移振型与横向位移振型有比较大的差异，奇数阶振型关于跨中对称，跨中转角位移幅值为 0 ，偶数阶振型关于跨中反对称，跨中转角位移幅值较大，拉索端部附近，转角位移振型幅值均较大。另外，与长索相比，短索端部转角有明显的“嵌固”效应。
在频域内，动位移幅值主要集中在拉索模态频率和外荷载激励频率处，其余频率位置处峰值均较小，可忽略它们对拉索节点动位移的贡献。在模态频率和外荷载激励频率处，本文提出的动位移反演方法可获得满意的反演结果。反演误差随索长的增加而增加。
时域内动位移反演时，由于在进行频谱分析时存在能量泄露，若将所有频率处的反演结果进行叠加，反演动位移略大，若只对模态频率和外荷载激励频率处的反演结果进行叠加，反演动位移略小。在实际应用中，为了使用方便，在进行动位移的时域分析时，可简单的叠加所有频率处的反演结果。
