在地震作用下，地震能量不断输入到结构体系中，其中一部分能量以动能和可恢复弹性应变能的形式存储，另一部分能量则被结构体系的阻尼和结构构件产生的非弹性变形耗散。当结构停止震动时，体系动能和可恢复弹性应变能归零，地震输入到结构体系的能量全部被结构体系的阻尼和结构构件产生的非弹性变形耗散。结构在地震作用下的反应过程，是地震输入能量在结构体系中以多种形式不断转化和耗散的过程。本章从能量平衡方程出发，给出各类耗能的定义，在此基础上给出逐步积分法时程分析时各类能量的求解方法，并给出具体的MATLAB编程代码。
在地震作用下，地震能量不断输入到结构体系中，其中一部分能量以动能和可恢复弹性应变能的形式存储，另一部分能量则被结构体系的阻尼和结构构件产生的非弹性变形耗散。当结构停止震动时，体系动能和可恢复弹性应变能归零，地震输入到结构体系的能量全部被结构体系的阻尼和结构构件产生的非弹性变形耗散。结构在地震作用下的反应过程，是地震输入能量在结构体系中以多种形式不断转化和耗散的过程。本章从能量平衡方程出发，给出各类耗能的定义，在此基础上给出逐步积分法时程分析时各类能量的求解方法，并给出具体的MATLAB编程代码。
14.1 能量平衡方程
在地震动持续过程中的任意时刻，结构体系储存和耗散的总能量等于地震动输入到结构体系中的能量 [1] ，即
其中E In 表示地震输入的总能量，E k 表示体系的动能，E s 表示结构的可恢复弹性应变能，E d 表示结构阻尼耗能，E p 表示结构非弹性耗能。其中动能E k 和弹性应变能E s 是瞬时变量，阻尼耗能E d 和非弹性耗能E p 是累积的。
14.1.1 单自由度体系能量平衡方程
?
式中
是体系的绝对加速度，且有
，即体系的绝对加速度等于相对加速度加上地面加速度。
根据公式(14.1?4)及(14.1?5)，可以分别得到基于相对位移定义的能量平衡方程及基于绝对位移表示的动力方程 [1] 。
对方程(14.1?2)两端在地震动持时范围[0，t]积分，得到以相对位移定义的能量平衡方程。
——结构在相对坐标系下的弹性应变能和非弹性变形耗能，有 ；
对方程(14.1?3)两端在地震动持时范围[0，t]积分，得到以绝对位移定义的能量平衡方程。
?
其中，
——结构在绝对坐标系下的动能，有
，
——地震动输入结构的能量，有
。
14.1.2 多自由度体系能量平衡方程
对于多自由度体系，由于能量是标量，因此只需将各自由度的能量项叠加即可，则相对坐标下多自由度体系的能量平衡方程为
14.1.3 相对与绝对能量平衡方程
对比方程(14.1?6)和方程(14.1?9)，可知相对能量平衡方程与绝对能量平衡方程中的阻尼耗能、弹性应变能即非弹性变形耗能是相同的，两者中的动能、总输入能量是不同的。根据以下关系
?
可得相对坐标下和绝对坐标下的动能、地震动输入能量之间的关系
[1]
如下
?
针对上式，当结构周期
时，由于
to
，
及
，则有
?
由此可以得到一个根据地震波最大速度值 估计的地震输入能量上限值
当采用时域逐步积分法进行地震动力平衡分析求解时，根据上节公式，可得单自由度体系的动能、可恢复应变能、阻尼耗能、屈服耗能的求解公式如下：
?
其中E
R,i
表示体系的可恢复应变能与屈服耗能之和，下标i表示积分步。
14.3 多自由度体系能量分析算例（略）
14.4 弹性与弹塑性结构耗能对比（略）
14.5 小结（略）
14.6 参考文献（略）
