本文介绍单自由度弹性体系运动方程、多自由度弹性体系运动方程、振型分解法，这些内容是结构抗震设计的结构动力学基础。

1、单自由度弹性体系运动方程

1）运动方程

根据达朗贝尔原理，得到单自由度体系的运动方程：

运动方程可以简化为：

2）运动方程的解

运动方程的解包括两部分，一是自由振动的齐次解，一是强迫振动的特解。

（1）齐次解

（2）特解

①瞬时冲量引起的自由振动

②杜哈密积分

由瞬时冲量概念出发，得到质点在地震作用下的强迫振动反应，即杜哈密积分：

2、多自由度弹性体系运动方程

1）运动方程

2）频率方程

以两自由度体系为例，由自由振动方程，并忽略阻尼的影响，可推导出频率方程：

3）振型

仍以两自由度体系为例，质点的位移不是独立的，即在结构振动过程中的任意时刻，这两个质点的位移比值始终保持不变，这种振动形式通常称为主振型，或简称振型。

需要说明，出现上述振动需要满足特定的初始条件，即各质点的初位移和初速度必须具有与主振型同样的比例关系，在一般条件下，任意质点的振动是各振型的叠加。

4）振型的正交性

由功的互动定理，得到多自由度体系任意两个振型对质量矩阵的正交性：{X}_j^T[m]{X}_k=0；

进一步得到对刚度矩阵的正交性：{X}_j^T[k]{X}_k=0。

3、振型分解法

1）坐标变换

多自由度体系的运动方程必须联立求解，为了简化计算，引入广义坐标q_j(t)，将位移向量写成以振型为基底、q_j(t)为系数的累加和，将未知变量由位移转变为广义坐标。

2）独立方程的建立

3）独立方程的求解

4）振型参与系数的性质

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