桥塔作为斜拉桥或悬索桥最主要的承载构件之一，除了承受自身的重力以及自然界外力外，还承受着缆索系统传来的上部结构的永久荷载和可变荷载，这些荷载对桥塔产生了巨大的轴力和弯矩作用，同时这一受力特征也决定了桥塔是以偏心受压为主的压弯构件。一方面，随着桥梁跨径的不断增大以及高强度材料越来越广泛的应用，桥塔的高耸化和构件的薄壁化使得桥塔的整体刚度和局部刚度有所降低；另一方面，随着桥塔造型日益多样化，其结构受力特性也更加复杂，这些都使其稳定问题更加突出，已成为结构设计的关键控制因素。

结构失稳的破坏形式主要有整体失稳和局部失稳。大量失稳事故的发生以及对失稳问题的深入研究表明，结构或构件的实际失稳临界荷载远低于欧拉理论的临界值。究其原因，一方面是因为实际工程中的受压结构并非处于理想状态，初始弯曲、材料缺陷以及荷载作用位置偏差等因素都有可能使结构的承载能力大幅降低；另一方面，类似于钢桥塔这种由薄壁构件组成的受压结构还有可能在整体结构尚保持稳定的状态下，因某些局部构件发生失稳而丧失承载能力。因此，只有在设计时充分考虑上述影响因素，才能确保结构安全。

钢桥塔的应用在我国起步较晚，设计经验均相对缺乏，现行的相关设计规范也均未对其设计做出较为详细和明确的规定，这些都给设计带来了一定的不便。为了进一步明确钢桥塔建模的单元选择、失稳模态和受力特征，通过采用ANSYS通用有限元软件对钢桥塔分别建立了杆系单元和板壳单元的空间有限元模型，对其稳定性进行较为全面的数值仿真计算与分析，为设计和后续研究提供参考。

本文以一座跨径布置为(200+200)m的独塔斜拉桥为工程背景，桥型立面布置见图1，桥塔采用空间反对称曲线门形钢塔，塔高106.2 m，桥面以上高度为76 m，采用四角均带切角的矩形截面(图2)，截面横桥向宽度为450 cm，顺桥向宽度自下而上由1042 cm变化至500 cm，桥塔内部顺桥向布置有两道内腹板，壁板及内腹板上均设有标准间距为80 cm的板式纵向加劲肋，沿塔高方向每隔2～2.5 m设有一道横隔板；主梁采用扁平流线型钢箱梁；斜拉索采用空间竖琴形双索面布置的平行钢丝拉索。

图1 桥型立面布置 m

图2 钢桥塔横断面 cm

2.1 空间杆系单元模型

斜拉桥主梁部分采用Beam4单元模拟成工程分析中常用的鱼骨刺模型，拉索采用Link10单元模拟并施加初始张拉力，为了提高计算精度，桥塔采用Beam188单元进行模拟。Beam188单元基于铁木辛柯梁结构理论，适合分析从细长到中等粗短的梁结构，单元的每个节点除有沿节点坐标系 x 、 y 、 z 方向的平动和绕 x 、 y 、 z 轴的转动6个自由度外，还可考虑沿横截面翘曲的第7个自由度，支持弹性、蠕变及塑性模型，且其截面可以由不同的材料组成，适合模拟线性或大角度转动、大应变等需考虑非线性因素影响的结构。

全桥及钢桥塔放大后的有限元模型如图3和图4所示。空间杆系单元模型建模方便，计算耗时少，但是不能考虑横隔板的影响，也不能反映钢桥塔的局部屈曲情况。

图3 全桥模型

图4 钢桥塔模型

2.2 空间板壳单元模型

为了确保计算精度同时提高计算效率，主梁及斜拉索采用与空间杆系单元模型同样的方式模拟，桥塔则采用Shell143单元进行模拟并进行四边形单元映射划分。Shell143单元是一种塑性壳单元，可以模拟不同厚度以及变厚度的板，既具有弯曲能力又具有膜力，可以承受平面内荷载和法向荷载，单元的每个节点均具有沿节点坐标系 x 、 y 、 z 方向的平动及绕 x 、 y 、 z 轴的转动的6个自由度，此外还考虑了应力刚化和大变形能力。

建模时详细模拟了钢桥塔的内部构造，壁板、中腹板、加劲肋以及横隔板等构件的布置均与实际设计保持一致(图5)，可以较为精确地计算出各构件的受力状况。但是模型复杂，单元划分数目多，自由度数目大，计算耗时长。

图5 钢桥塔内部构造模拟   

2.3 材料本构关系

钢桥塔所采用的Q345钢材，其材料非线性的模拟选用了多线性随动强化(MKIN)模型，即使用多线性来表示应力-应变关系曲线。模拟随动强化效应时，该模型考虑包辛格效应，且适用于服从von Mises屈服准则的小应变塑性分析。根据GB/T 1591—2008《低合金高强度结构钢》，钢材的屈服强度随厚度增大而减小，故出于安全考虑，计算时Q345钢材的屈服强度取其最小值265 MPa。其MKIN模型曲线如图6所示。

图6 Q345钢材MKIN模型应力-应变曲线

2.4 荷载工况

计算荷载仅考虑桥梁所承受的最大竖向荷载，主要包含恒载和汽车荷载，其中恒载包括结构自重、二期恒载以及斜拉索的初拉力，汽车车道荷载按JTG D60—2015《公路桥涵设计通用规范》的规定取值，集中力施加于桥跨对称中心线处。    

3.1 第一类稳定计算原理

拉格朗日列式的增量形式为：

([ K ] _D +[ K ] _G ){Δ U }={Δ P }

(1)

式中：[ K ] _D 为已知的弹性刚度矩阵；[ K ] _G 为几何刚度矩阵；{Δ U }为位移增量；{Δ P }为荷载增量。由式(1)推导出来的第一类线弹性稳定问题的控制方程：

|[ K ] _D + λ [ K ] _G |=0

(2)

式中： λ [ K ] _G 是对应于临界荷载{ P } _cr 作用时的结构几何刚度矩阵，即将稳定问题转化为求方程(2)的特征值λ，理论上存在 n 个特征值解 λ ₁ ， λ ₂ ，…， λ _n 以及对应的 n 个特征向量(失稳模态)，最小特征值解即为结构的稳定安全系数。

3.2 第二类稳定计算原理

由于上述方法只能用于没有初始缺陷、完全轴心受压的理想结构，而实际工程中的钢桥塔由于存在各种施工误差和初始缺陷，自受力开始，随着外荷载的增加，结构的刚度矩阵也在发生变化，因此，在第二类稳定分析的过程中需要不断计入结构的几何非线性刚度方程，如果结构中的部分应力超过了材料的屈服强度，还需要计入材料非线性刚度方程，这时材料的弹性模量成了应力的函数。计入双重非线性的平衡方程增量形式可表示为：

([ K ] ₀ +[ K ] _σ +[ K ] _L ){Δ U }={Δ P }

(3)

式中：[ K ] ₀ 为弹塑性刚度矩阵；[ K ] _σ 为应力刚度矩阵；[ K ] _L 为局部坐标系下的大位移弹塑性刚度矩阵。

为了得到钢桥塔在加载全过程中的荷载-位移情况，计算时采用增量法将临界荷载{ P } _cr 分为若干级荷载增量{Δ P } _i ，每一级荷载对应位移曲线部分按线性处理，但每个荷载增量步的线性求解过程均计入该过程中起始荷载和材料本构关系的影响，因此荷载增量作用的平衡方程为：

([ K ] _{0 i -1} +[ K ] _{σ i -1} +[ K ] _{L i -1} ){Δ U } _i ={Δ P } _i

(4)

式中：[ K ] _{0 i -1} 、[ K ] _{σ i -1} 、[ K ] _{L i -1} 分别为第 i -1级加载结束后的弹塑性刚度矩阵、应力刚度矩阵、局部坐标系下的大位移弹塑性刚度矩阵。

第 i 级荷载增量作用结束时结构总荷载和位移分别为：

(5a)

(5b)

式中：{ P } ₀ 为结构初始荷载向量；{ U } ₀ 为结构初始位移向量，当结构刚度矩阵趋于奇异时对应的最小荷载值即为结构的失稳临界荷载。

3.2 钢桥塔稳定性能判断

根据JTG/T D65-01—2007《公路斜拉桥设计细则》的规定，本文研究的斜拉桥，其结构体系的第一类稳定安全系数应不小于4，第二类稳定安全系数应不小于1.75。需要说明的是，由于结构的受力效应一般是由结构自身的恒载 W 及外荷载 F 共同引起的，因此对于结构稳定安全系数 λ 的确定就存在是综合考虑恒载与外荷载还是仅考虑外荷载的问题，一般来说主要有以下两种情况：

1)稳定安全系数 λ 是针对全部荷载( W + F )而言的，即：

(6)

2)稳定安全系数 λ 只是针对外荷载 F 而言的，即：

(7)

本文所采用的结构稳定安全系数均按偏于安全的式(6)算得，即失稳临界荷载为 λ 倍的恒载与活载之和。

4.1 空间杆系单元模型的计算结果

4.1.1 第一类稳定计算结果

基于所建立的空间结构模型对钢桥塔进行弹性屈曲分析，得到钢桥塔的前5阶屈曲模态以及对应的屈曲特征值(即稳定安全系数)，分别见图7和表1。

a—第1阶；b—第2阶；c—第3阶；d—第4阶；e—第5阶。

图7 钢桥塔失稳模态

表1 杆系单元模型的第一类稳定安全系数 λ

第一类稳定的最小特征值为94.51，即失稳临界荷载 P _cr 为94.51倍的恒载与活载之和。

4.1.2 第二类稳定计算结果

在考虑材料、几何双重非线性以及结构初始缺陷影响的前提下，对结构进行弹塑性屈曲分析，材料非线性的模拟采用本文2.3节给出的多线性随动强化(MKIN)模型，结构初始缺陷的影响则采用一致缺陷模态法，取第一类稳定分析中得到的一阶屈曲模态作为结构初始几何缺陷的形状。结果表明：当荷载值增大到19.89倍的恒载与活载之和时，结构的切线刚度矩阵趋于奇异，此时沿桥塔高度方向截面形心处的位移及应力分布情况见表2。

表2 杆系单元模型第二类稳定临界状态下的位移和应力分布

注：表中坐标 x 轴为顺桥向， y 轴为横桥向， z 轴为高度方向(向下为正)，坐标原点位于塔顶截面形心。

从表2可以看出：距塔顶15～57 m处即斜拉索分布区域的桥塔截面形心的位移较其他位置明显增大，为了更直观地显示钢桥塔随荷载不断增大时的位移变化，提取了位于变形最大区域的9号节点的荷载-位移曲线，见图8，图中横坐标为加载的恒载与活载之和的倍数，纵坐标为位移值。从图中可以看出， x 、 y 方向的荷载-位移曲线基本保持线性，当荷载小于9.5倍恒载与活载之和时， z 方向的荷载-位移曲线表现为线性，而当荷载继续增大时，荷载-位移曲线表现出非线性，即荷载增大，位移变化的幅度也随之增大。结合表2列出的应力分布状况，基本可以明确钢桥塔在屈曲极限荷载作用时的应力、应变集中区。

图8 9号节点荷载-位移关系曲线

4.2 空间板壳单元模型的计算结果

4.2.1 第一类稳定计算结果

由弹性屈曲分析得到钢桥塔的前50阶失稳模态均表现为局部失稳，其中前5阶失稳模态均表现为壁板的面外屈曲，失稳时最大变形处位于沿桥塔顶部中心点向下55.4 m处的桥塔外壁板，加劲肋随同壁板一起发生了凹曲和凸曲变形，形成若干连续的凹凸交错的正弦半波曲线，以横隔板作为凹凸变形的反弯点，说明横隔板对壁板的局部屈曲起到了一定的限制作用。第51阶失稳模态表现为整体失稳，失稳时最大变形处位于沿桥塔顶部中心点向下24～51 m的区域。较之于空间杆系单元模型，空间板壳单元模型可以更准确地显示出结构失稳的形态和位置，第1～5阶、51阶失稳模态对应的屈曲特征值见表3，图9为钢桥塔第1阶和第51阶失稳模态。计算表明，第一类稳定的局部失稳临界荷载 P _cr 为25.15倍的恒载与活载之和，整体失稳临界荷载 P _cr 为61.42倍的恒载与活载之和。

表3 板壳单元模型的第一类稳定安全系数 λ

a—第1阶失稳模态；b—第1阶失稳模态局部放大；c—第51阶失稳模态。

图9 钢桥塔第一类稳定失稳模态 mm

4.2.2 第二类稳定计算结果

采用与杆系单元模型第二类稳定计算相同的方式计入材料、几何双重非线性以及初始几何缺陷对结构的影响，计算结果表明，当荷载值增大到12.90倍的恒载与活载之和时，结构的切线刚度矩阵趋于奇异，此时沿桥塔高度方向截面形心处的位移及应力分布情况如表4所示。

表4 板壳单元模型第二类稳定临界状态下的位移和应力分布

从表4可以看出距塔顶24～48 m处的桥塔截面形心的位移较其他位置明显增大。为了更直观地显示钢桥塔随荷载不断增大时的位移变化，提取了位于变形最大区域的11号节点的荷载-位移曲线，见图10，图中横坐标为加载的恒载与活载之和的倍数，纵坐标为位移值。可以看出，当荷载小于8倍恒载与活载之和时，三个方向的荷载-位移曲线表现为线性，而当荷载继续增大时，三个方向的荷载-位移曲线均表现出非线性，即荷载增大，位移变化的幅度也随之增大，且以 z 方向位移的变化幅度最大。

图10 11号节点荷载-位移关系曲线

桥塔外壁的应力和弹性应变集中区域主要位于拉索中部区域(图11)，桥塔内部的加劲肋、中腹板和横隔板构件的应力和弹性应变集中区域主要位于拉索处的横隔板，加劲肋的应力分布情况与外壁板的应力分布情况一致(图12、13)，说明加劲肋能够有效地改善桥塔外壁板的局部屈曲，桥塔内部塑性应变主要集中于横隔板的拉索锚固区域。

a—正立面；b—侧立面。
图11 桥塔外壁von Mises应力分布 MPa

图12 桥塔中腹板von Mises应力分布 MPa

图13 桥塔横隔板与加劲肋von Mises应力分布 MPa

4.3 计算结果分析

通过对杆系单元模型和板壳单元模型的计算结果(表5)进行比较可知：采用板壳单元模型算得的钢桥塔第一类稳定和第二类稳定安全系数均小于采用杆系单元模型的相应计算结果，其原因是板壳单元模型的两类失稳模态均表现为局部屈曲，即局部失稳先于整体失稳发生。在计入双重非线性因素的影响，并考虑可发生局部失稳的计算模式下，该桥塔的最小稳定安全系数为12.90，满足JTG/T D65-01—2007《公路斜拉桥设计细则》的规定，且具有较高的安全度。

表5 杆系单元模型和板壳单元模型的稳定安全系数计算结果对比

1)在计算结构的失稳临界荷载时，进行第一类稳定分析可以得到结构在理想条件下的最大承载力，可作为结构承载力的上限，检验非理想情况下计算得到的结构承载力的正确性，而且由此得到的失稳模态是进行第二类稳定分析的前提，但结果偏于不安全。而考虑了材料非线性、几何非线性和初始缺陷的第二类稳定分析，能较好地反映结构的真实受力状态，正确地估计结构的稳定承载能力，其结果可以作为设计的依据。

2)空间杆系单元模型无法模拟纵、横隔板以及加劲肋对桥塔壁板的面外约束作用，不能计算局部稳定。一般来说，采用杆系方法计算结构或构件的整体稳定时，应保证不先发生局部失稳，但对于桥塔这类由刚度控制的结构，通常由于其截面尺寸较大，不易发生整体失稳，若一概要求局部失稳不先于整体失稳发生显然是不合理的，此时则可借助于空间板壳单元模型，进一步分析桥塔壁板及桥塔内部构造的受力和变形情况，若局部失稳发生在非关键部位且失稳部分退出工作后，剩下的结构能满足受力要求，则可认为结构仍然是安全的。

本文仅对桥塔在最大竖向荷载作用下的稳定性进行了分析，汽车活载的非对称加载、水平荷载以及温度作用等其他因素对桥塔稳定性的影响有待进一步深入研究。