膜结构设计一般分为三个步骤：结构找形、荷载分析和裁剪下料 ^[1] 。结构找形又可以分为两类：找形和找力 ^[2] 。索杆结构找形一般采用找力分析，膜结构找形一般采用找形分析。无内环索支结构-索承式膜屋盖是由索、杆和膜组成的混合结构，因此需同时采用找形分析和找力分析，即“协同找形”。最初对索杆膜结构进行设计时采用“分离式”设计方法，这种设计方法实际上并未考虑膜和索杆结构的协同作用 ^[3] 。近年来，一些学者对索杆膜协同找形进行了研究，鉴于考虑和不考虑协同找形其结果误差较大，建议应考虑协同找形 ^[3] 。同时，一些实际工程也用到了协同找形，如深圳宝安体育场 ^[4] 、乐清体育场 ^[5] 等，并在此基础上对结构进行了荷载分析、动力特性分析及断索分析等，但以上工程都是应用国外的索膜找形专用软件(如STRAND7, EASY等软件)来进行协同找形分析。薛素铎团队对无内环索支结构的主体索系部分进行了相关理论和试验研究，发现膜屋盖对主体索系结构的影响几乎没有研究 ^[5] 。

针对以上问题，本文基于非线性有限元ANSYS软件对无内环索支结构-索承式膜屋盖进行了协同找形，总结了协同找形步骤。其次对整体索膜结构进行了静力分析和参数化分析。最后对有、无膜屋盖结构的动力特性进行了对比研究，为无内环索支结构在工程中的应用提供参考。

无内环索支结构(图1)是由轮辐式索桁结构演变而来(图2)，但无内环索支结构的抗倒塌能力显著高于轮辐式结构 ^[6-7] ，其演变过程如图3所示，即在节点A处对F1和F2进行力的合成可得其合力为F5，若对内环节点都进行力的合成，则可得到图3d的受力图。图3d与图2中的轮辐式结构的内环受力相同，均为内环索+径向索的组合形式。由图3可知，无内环索支结构虽然取消了内环索，但对每个节点外侧的两根索进行力的合成后可以等效为图3b所示的形状(与轮辐式结构相同，见图2)，即无内环索支结构依然可以形成轮辐式结构合理的受力状态。因此，无内环索支结构摒弃了内环，提高了结构的抗倒塌能力，同时也能做到轮辐式结构合理受力的状态。

图3 无内环索支结构演变过程示意

Fig.3 Schematic diagram of evolution process of cable-supported structure without inner hoop

目前索膜结构的找形理论主要有：动力松弛法、力密度法和非线性有限元法 ^[8] 。由于非线性有限元法具有计算精度容易控制、避免人工编程，可以得到符合要求的各种等应力曲面及平衡曲面等优点，所以非线性有限元理论得到了广泛的应用。基于非线性有限元理论，膜结构找形的基本方程为 ^[8] ：

式中： [ K _L ]为整体坐 标系下膜结构的线性刚度矩阵； [ K _NL ]为整体坐标系下膜结构的非线性刚度矩阵； {Δ U }为整体坐标系下节点位移向量； { F }为整体坐标系下节点等效荷载向量。

在求解式(1)时，由于非线性刚度矩阵可能出现奇异，造成求解不收敛，经验做法是考虑线性刚度矩阵，但将膜材料的弹性模量取真实材料的10-3～10-5，再由式(1)求解节点位移，从而得到结构的形状。在ANSYS中，索和膜结构在有限元模型中均为两节点线性单元，其找形的基本理论是一致的，不再赘述。

针对所研究的索承式膜屋盖结构，虽然国内外已有不少工程案例，但找形时所采用的软件大都为国外专用找形分析软件(如STRAND7, EASY等软件)，很少采用ANSYS有限元软件进行协同找形，故基于ANSYS有限元软件，把协同找形流程进行了总结，具体步骤见图4。

图4 协同找形流程

Fig.4 Flow of collaborative form-finding

该结构外圈直径D=17.15m，内圈直径为10.6m(图5)。索膜均为只受拉材料，索单元采用Link 10，膜单元采用Shell 41，杆单元采采用Link 8。该结构是由一系列相同的单榀索桁架编织交叉形成的结构体系，因此取单榀平面索桁架进行分析，括号内数字为索桁架在坐标体系中的竖向坐标(图6)。结构所用材料参数和规格尺寸见表1,索杆可行预加力分布见表2。提升后模型和形成整体模型后的最终找形结果如表3和表4所示。

图6 单榀索桁架节点及单元编号 m

Fig.6 Number of joints and elements of single cable-truss frame

从表3可知:在提升过程和整体结构找形过程中，膜屋盖的膜面应力分布比较均匀，且相差不大。从图7和表4可知：整体模型中膜的应力大部分介于1.19～1.29 MPa，应力分布较均匀，最大应力为

1.49 MPa，分布于节点和边索处，最小应力为1.04 MPa，分布于远离节点和边索的区域。提升后膜面的应力大部分介于1.27～1.28 MPa，与整体模型中膜的应力相比差别很小。处于结构中间区域(远离支座)的节点SP2′、SP2、XP1′、XP1的 X 、 Y 、 Z 方向上的坐标值变化较大；其余靠近边界固定点处的节点坐标值在 X 、 Y 、 Z 方向上改变较小。其中 X 方向变化最大的是SP2号节点，变化量为-4.33 mm； Y 方向变化最大的是SP2′号节点，变化量为3.66 mm； Z 方向变化最大的是SP1′号节点，变化量为-3.51 mm。

图7 无内环索支结构-索承式膜屋盖应力云图  kPa

Fig.7 Stress nephogram of cable-supported membrane roof of cable-supported structure without inner hoop

可见：膜面形状除与索膜初始预张力有关外，还与索膜结构的边界约束有关。从结果来看：提升后和最终整体找形结果产生差异的主要原因是结构的刚度发生了变化，但相差不大，这也说明了该结构体系刚度大、稳定性好。

为了进一步验证模型的正确性，把找形结果和EASY软件的找形结果进行了对比分析。分析结果表明:数据基本吻合、变化规律相同，验证了ANSYS有限元模型的正确性。对比结果如图8所示。

误差分析：由于在EASY软件和ANSYS软件中对膜面的单元划分和施加在膜面上的初始预应力方式不同，所以引起两种软件的模拟值也有一定的误差，但总体来说差别较小，对比结果比较吻合。

在恒载+活载作用下，综合考虑荷载组合后，荷载大小取0.6 kN/m ² 。分三种工况分别研究结构的响应，在不同工况下结构的内力和位移如表5所示。

各工况情况：工况1,仅膜面预张力作用下;工况2,预张力+恒荷载共同作用下;工况3,预张力+恒荷载+活荷载共同作用下。

图8 EASY软件和ANSYS软件找形结果对比

Fig.8 Comparison of form-finding results between EASY software and ANSYS software

从表5可以得出:在工况1和工况2时膜面均未出现褶皱现象，但在工况3时膜面局部边界处出现褶皱现象，主要原因是上部索SS1和SS2在工况3情况下已经发生松弛，继而导致位于SS1和SS2索处的膜面出现褶皱现象。同时，在工况3时膜面最大位移为196.87 mm，由CECS 158∶2015《膜结构技术规程》可知，膜面最大位移容许值为85.75 mm。因此在工况3下，膜屋盖不满足CECS 158∶2015要求。综上可知，索承式膜屋盖可以应用于中小型跨度结构，不适合大跨度、超大跨度的无内环索支结构。

为了分析膜材自重对结构内力、位移的影响，找形过程中通过施加重力加速度来考虑重力，考虑自重和不考自重时的对比结果见图9，自重对膜屋盖的作用见表6。

图9 自重对主体索系结构的影响

Fig.9 Effect of self-weight on main cable-system structure

由图9、表6可知：当考虑膜材自重时，膜面应力分布范围与不考虑自重时一致，即自重作用下对膜应力分布几乎没有影响。但对于大跨或超大跨结构，自重对结构的影响程度应该以实际计算结果为准。

由表7可知:由于结构的刚度包括线性和非线性两部分，两者均随弹性模量的增大而增大，由于非线性刚度的存在，整体刚度的变化并非与弹性模量的变化成正比。同时，随着弹性模量的增大，膜面各观测点的位移逐渐减小,观测点位置如图10所示，因此弹性模量对膜屋盖的找形具有较大影响。所以实际工程中应对膜材进行材性试验。

图10 观测点位置

Fig.10 Location of observation points

从表8可以看出:膜面的最大与最小位移随着泊松比的增大而增大，但幅值较小;各观测点的位移随泊松比的增大而逐渐减小，但变化并不显著。对膜面进行简化计算时，由于其找形结果一般以膜面应力均匀程度为控制指标，因此可以不考虑泊松比的影响。

在工况2作用下，研究膜面初始预张力变化对膜屋盖的影响，分析结果见表9。

注： 膜面预张力与温度转换公式:  σ = αTtE , 其中， α 为线膨胀系数,  T 为温度， t 为膜面厚度, E 为膜材弹性模量。

从表9可以看出:随着膜面预张力的增大，结构的最大、最小应力均不断增大，膜屋盖结构的最大位移不断减小，且增幅较明显；把观测点2所得的结果与最大位移值进行对比，可知两者变化规律相同。由于膜面预张力对膜屋盖的影响较大，因此设计时应选取合理的初始预张力值。

从表10可知：随着边索内力的增加，膜面的最大应力不断增大，最小应力不断减小，最大和最小应力差值不断增加，但增幅很小；随着边索内力的增加，膜屋盖的最大位移不断减小，观测点2的位移也不断减小，说明边索预应力越大，对膜屋盖的约束越强，有利于减小膜面位移。

结构的自振频率、振型和阻尼比是反映结构承受动力荷载和评价结构动力特性的3个重要参数，也是进行结构风谱分析和地震反应谱分析的基础。索杆膜结构属于柔性结构，对其进行模态分析时需要考虑大变形与预应力效应。在ANSYS软件中，通过设置应力刚化和大变形命令来考虑预应力效应和大变形影响。

同一般索网结构，无内环索支结构在静力平衡位置作小振幅振动时，由哈密顿变分原理可知，结构离散后无阻尼自由振动方程为：

式中：[ M ]为结构的质量矩阵；[ K ]为结构处于当前平衡状态位置时的切线刚度矩阵。

假设结构以频率 ω 作简谐运动，将其代入式(2)，可得到结构的广义特征方程：

由于位移的任意性，式(3)应满足：

通过求解式(4)，即可求出结构的每阶频率，将频率代入到式(3)，可得到相应振型。

文中采用分块兰索斯法 ^[9] 求解式(4)。分块兰索斯法具有计算速度快、输入参数少、结果精度高等诸多优点，非常适用于具有对称性的大跨度空间结构。

通过对无内环索支结构-索承式膜屋盖进行模态分析，分别提取了主体索系结构和整体索膜结构的前10阶振型，见表11。前两阶振型如图11所示。

从表11和图11可以得知：整体索膜结构的自振频率小于主体索系结构，主要原因是膜材作为覆盖材料，其预应力与主体索系相比较小，所提供的刚度有限。

从表11还可知：结构的频率出现了相等的频率，这主要是整体索膜结构是关于坐标轴对称的结构，该结构有两个对称轴。观察各阶振型图，相同频率对应的振型也基本相同，差别只是换一个角度或一个方位，如第1、2阶振型，见图11。同时，主体索系结构的第1、2阶振型为正对称上下振动且均伴随着平面索桁架的平面外局部转动。整体索膜结构的第1阶振型为整体上下振动，第2阶振型为整体反对称上下振动。对于柔性结构，第1振型为上下振动和平面索桁架平面外局部转动，对整体结构受力并无不利影响 ^[10] 。

通过对无内环索支结构-索承式膜屋盖方案的研究，可以得到以下结论：

1)对索承式膜屋盖进行了协同找形分析，通过算例验证了找形结果的合理性，给出了协同找形流程，有效解决了该结构的协同找形问题。

2)由静力分析可知，结构具有一定的抵抗外荷载的能力。考虑到单片膜面面积、膜面排水、褶皱等问题，索承式膜屋盖适用于中小型跨度。

3)从参数化分析可知，膜材自重、泊松比及边索预应力对膜屋盖影响较小，简化设计时可以忽略。膜材的弹性模量和初始预张力对膜屋盖的影响 较大，实际中应考虑膜材的真实弹性模量并施加合理的膜面应力。

4)从模态分析可知，结构的振型主要表现为上下振动并伴随平面索桁架局部扭转，说明结构的动力特性较好。