我也有过你这样的经历。建设方最关心的就是投资和进度，只要结果不要过程。开工时间晚，天天催进度。
首先要看监理合同里职责范围，对工期有没有连带责任。甲乙双方的施工合同中肯定有工期要求的，第一责任在施工方，当施工方发现不能完成工期时，他们会主动找甲方沟通的，这个里面文章就多了，不用监理去操心。现在的施工方都很聪明，和甲方关系都很好，反而监理夹在中间两头都为难。
监理要保护好自己，首先要在质量上把好关，影响结构安全的绝对不能放过。还有具有安全隐患的地方，如 出入口上空的预制构件、悬挑构件、容易脱落的坡屋面瓦、电气的绝源接零等都要亲自检查，作好监理日记。不能砸了自己饭碗。
当甲方插手按排进度时，从另一个角度上说也是对监理的不信任，应该多配合多沟通，最主要的是要向自己的领导汇报情况，让领导知道自己的难处，听听领导的意见，万一出点事也是按领导意图办的，也算保护自己。

我也碰到过类似问题，首先应控制基础、主体结构工程质量，再其次是屋面、卫生间防水、电气等质量，分开轻重控制，工期也是监理控制的一个环节，总不能为了质量不按建设方定的工期来要求吧

我建议你离开这里，这样的甲方在刁难人，有什么干头。

施工单位与甲方是一家，你吃了哪家都不会说你好

应该以监理工程师联系单形式向建设单位发出通知，说明工程质量和进度的利害关系，以及产生的后果。同时指出工程质量由监理单位负责是不正确的，任何时候工程质量都是由施工单位负责。