1

频域子结构模型

竖向等截面柱体结构-水相互作用问题简化二维模型，然后利用比例边界坐标变换和加权余量法推导二维平面动水压力比例边界有限元方程：

式中，E0、E1、E2、M0 分别为比例边界有限元的系数矩阵， ξ 表示比例坐标的径向坐标，ω表示圆频率，c 表示波在水中的传播速度， λ=(2j-1)π/2h 。利用节点力和动水压力之间的关系可以得到动力刚度方程：

该动力刚度方程中的动力刚度可以用连分式形式来表示，利用Matlab可以求解连分式的系数，进而得到动力刚度的数值解。利用交界面处的边界条件可得动水压力的表达式为：

式中M1由单元的质量矩阵装配得到。

将上述的动水压力的表达式代入结构-水相互作用的有限元方程即可得到用频域子结构的有限元方程表达式，其中结构可以用梁单元模拟，进而可以分析竖向等截面柱体结构-水的动力反应和特性。

分别以圆柱、椭圆柱和矩形柱体为例，以解析解(圆柱)或有限元大模型解（椭圆柱和矩形柱）为参考解，与本文中的作用在刚性结构截面上的动水力进行对比，验证了本文中基于比例边界有限元法模拟的无限域水体的模型的精度，如图1-3所示。

利用本文提出的竖向等截面柱体结构-水相互作用频域子结构分析方法，分析了结构与水的动力相互作用对结构自振频率的影响。图4为圆柱结构的 ωc/ω0和 ωc/ω1两个比值随长细比L的变化（ωc结构在可压缩水体中的自振频率，ω0结构无水时的自振频率，ω1结构在不可压缩水中时的自振频率）。由图中可以看出水与结构的相互作用会减小结构的自振频率，在一定范围内，水体的可压缩性对结构自振频率的影响很小可忽略。图5为椭圆柱和矩形柱的Ehωn 随长细比 L的变化，表示结构在可压缩水体中和无水情况下的自振频率的相对误差。由图中可以看出随着长细比的增大结构与水的相互作用对结构的自振频率的影响会减小，当结构的自振频率与水层的自振频率相近时会出现突变。图6为椭圆柱和矩形柱的ECOMωn随长细比L的变化，表示结构在可压缩水体中和不可压缩水体中的自振频率的相对误差。由图中可以看出可压缩性对结构与水相互作用中结构的自振频率的影响随长细比的增加呈现增大的趋势，但是其影响都小于6%可忽略。