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结构受压稳定问题（八）

  

    

    一：传统的框架结构的屈曲分析

      所谓传统的分析，即《新钢标》一阶弹性分析方法与设计。分两个步骤。第一进行结构分析，通过一节弹性分析确定构件在各种外荷载和作用组合工况下的内力效应，第二步进行构件设计，首先按规范查得或计算构件的计算长度系数，然后按《新钢标》有关的公式进行构件承载力的计算或验算。

    单个构件的计算长度系数和构件两端的约束有关（见文首的图片），整体结构中的某一个构件长度的计算系数和单个构件的概念相类似，只是构件两端的约束和与之相连的梁的刚度及结构整体的侧向刚度密切相关，还要考虑不同柱之间的互相帮助，其比单个构件计算长度的确定要复杂的多。

    单个构件的长度计算系数是根据构件两端的约束建立微分方程求出欧拉临界力解析解，并与两端铰接的杆件（计算长度系数为1）相对比得到，现简述整体结构的框架柱的计算长度系数确定过程。

    方法有微分方程法、位移法、刚度矩阵法和近似法。这些方法都是没有计算机的年代，先辈们研究出来的手算的方法。

    以位移法为例，其求解钢架屈曲荷载的计算原理和结构力学的求解超静定结构的内力思路是一致的， 有所不同的是求解钢架的屈曲荷载时，对于有轴心压力的构件，其转角位移方程需考虑轴线压力对构件抗弯刚度的影响（这其实是考虑了杆件变形的二阶弯矩的影响）。

该转角位移方程系列七有列出，本文从略。

    用该法求解几个典型的钢架的屈曲荷载。 

   （1）理想的两端铰接的钢架柱的整体结构，和两端铰接的单柱的屈曲荷载相同。

   下面的结构钢架柱的计算长度均是和这种标准结构的计算长度做对比。

     2：无侧移的铰接柱脚的门式钢架的柱计算长度系数与横梁的刚度有关，计算长度系数在1~0.7之间。

   

      3：有侧移的柱脚铰接的门式钢架

    从上面的两种情况可以看出， 同样的梁柱有侧移钢架的屈曲荷载总是远小于无侧移钢架 。因此在计算钢架屈曲荷载之前，首先要明确所分析的刚架是否有侧移。对于已经设置了阻止柱顶侧移的支撑系统，还要考察其是否有效。按规定对于有支撑的刚架，当其抗侧移刚度大于等于同类无侧移刚架的5倍时，方认为支撑系统有效，否则仍按无支撑刚架计算其稳定性。

    有无支撑、柱脚及梁柱线刚度比不同时的计算长度系数如下表：

    4:无侧移的多层多跨刚架的屈曲荷载的求解

    就像我们计算多层框架结构分析一样，整体的精确的转角位移法求解是非常困难的了，可以采用分层的D值法结合刚度分配法的思路一样，多层多跨刚架的屈曲荷载的求解也可以采用这种思路，只不过其转角刚度是考虑了框架柱轴心压力造成的抗弯刚度变弱。计算过程从略。

    5：有侧移的多层多跨刚架的屈曲荷载的求解

    王立军大师发文质疑该长度计算公式偏于保守，我研究的不深入，所以不好评论。如果规范偏于保守，对设计安全度是个提高。做设计做到心里有数是挺重要的事。

    上述得出计算长度系数的刚架分析有几个基本的假定：

    1：材料为 弹性体 ，我们可以把这些刚架设想为弹性模量为钢材的橡胶材料，就不容易和实际的工程混淆了。

    2：集中的荷载均为 沿柱轴线轴心作用 作用于柱顶。为什么如此假定？就像我们求解单个构件的欧拉临界力一样，用微分方程的解析解求解的是 轴心受压构件的欧拉临界力 。

     同样，规则的刚架整体的临界屈曲荷载，也是采用轴心压力进行的计算，作为对标，可以叫做 平面刚架的欧拉临界力 。

     该临界力可以得出不同刚架的柱与标准柱（两端铰接的柱）对比的临界力用计算长度系数来表达。

    3：不计柱的压缩变形和梁的轴向力。影响很小，故忽略。

    4：上述并未考虑不同柱之间的互相帮助，但这个情况太复杂了，难于算的清楚。

   

    二：压弯柱的刚架的弹性稳定分析

     前面分析的力均为节点垂直力作用下的刚架，其一阶弯矩为0。   我们可以把上述的节点轴力作用刚架下的屈曲荷载对标轴心受力构件来理解，同样也可以把一般荷载作用下（产生一阶弯矩）作用下的刚架的屈曲荷载对标压弯构件的稳定荷载来理解。

    对于一般荷载作用即有初始弯矩的刚架，其弹性临界力会有所降低，但对于有侧移的刚架降低的幅度可以忽略不计，对于无侧移的刚架降低较多，但不是很突出，其计算长度系数的增加规范已有所考虑。

  

     三：单层刚架弹塑性极限稳定荷载

     上述的 弹性分析 结果得出了整体刚架不同情况下的计算长度系数，但还必须解决实际弹塑性结构的屈曲荷载的计算。 用简化法进行弹塑性刚架的求解已经非常困难了，应该用数值积分法来求解，而且与实验吻合很好，但对于简单的刚架结构，应用数值积分法实不方便实际应用，还的寻求近似的计算方法。

    下面的论述，我并不能说明白，一是手头的资料太少，而是难度也很大，对结构工程师的实际工作意义似乎不是很大，但为了是文章连续，还是笼统的谈下吧。

    先从最简单的单层刚架的刚塑性分析开始。

     刚塑性假定 是假设刚架的塑性发展完全集中在几个弯矩最大、可能形成塑性铰的截面，而同时把梁与柱本身都看做不变的刚体，刚架在达到破坏荷载时形成的有侧移机构的极限荷载 。我个人认为这种假定的模型距离实际的刚架较远，也许是为了推导出求解弹塑性刚架的简化公式采用的不得已的中间过程。见下图：

 

   刚塑性刚架的极限荷载 大致如下图：

     单层刚架的极限荷载 ，见下图：

   

    弹塑性单层刚架的极限荷载 ,和刚架弹性屈曲荷载 及刚塑性假设刚架一阶弯矩下的的极限荷载 有关。很容易理解，弹塑性的 是最小的。而 类似结构分析中的不考虑 效应下的刚架的弹塑性承载力，即新钢标中的一阶弹性分析法。

    上图可以看出， 当 （可以理解为新钢标中的二阶效应系数），刚架的极限荷载和不考虑 效应的极限荷载基本相同。

      当 （可以理解为新钢标中的需要进行二阶 时的二阶效应系数的范围）， 将显著降低。

     假设二阶效应系数是0.2，则考虑二阶效应影响的 当 应另行计算。

     上面的论述有助于理解《新钢标》的5.1.6：

      求解《新钢标》的二阶影响系数，需要首先求解整体结构的低阶弹性临界荷载 ，从上文可以看出单层或多层刚架的 是如此的复杂，那对于一栋高层结构的最低阶（单向的侧向失稳）弹性临界应力如何求解呢？我理解应为每柱列的屈曲荷载之和，具体数值只好依靠程序了。

   

     四：多层多跨刚架的 弹性分析

      一阶分析法又叫长度系数法，即按一节整体分析计算杆件的内力，在按计算长度验算构件的稳定。这种分析对无侧移刚架比较合理，因为计算公式中压弯柱的计算长度可以考虑柱本身的 效应，但是，这种方法对于有侧移的刚架不尽合理。比如水平荷载很小而横梁荷载很大与水平荷载很大而横梁荷载很小采用同样的计算长度系数显然过分的夸大了 的效应， 使得一阶分析的长度系数法偏于保守 。

  

    （1）现简单介绍简化的二阶 弹性分析，先看悬臂构件的二阶 弹性分析。

    用弹性稳定理论即建立微分方程的欧拉临界公式方法推导出悬臂压弯构件的最大挠度 和最大弯矩 ，见下图：

    但还不必求解微分方程求解屈曲荷载，而采用简化的二阶分析法，简述如下：

   （1）先用一阶法计算出水平力H作用下的柱顶位移，即不考虑轴心压力影响下的挠度，查力学手册即可得到：

      

     (2)则初次 效应的的弯矩为P ，将该弯矩换算成假想的柱顶水平力 。

    （3）将水平外力H与假想水平力之和在作用于杆端，得到新的位移 ；

    （4）再次将弯矩 换算成假想水平荷载 ，并与 相加后作用于柱顶，得到

；

    （5）如此重复上述的步骤，几次后可的到所示悬臂端的最大挠度和最大弯矩：

  

    我们再用这种笨方法回过头来理解下理想直杆轴心受压的欧拉临界力的问题。    

    对于理想的弹性直杆，受到轴心压力的时候，是理想的纯受压，假如给以偶然微小的水平力，按上述步骤，对于超过欧拉临界力的轴力作用在水平力产生的微小位移下的第二阶位移大于第一阶位移，那么第三阶位移一定大于第二阶位移，位移越来越大，即为失稳。减小轴向力，当第二阶位移小于第一阶位移时，第三阶位移自然小于第二阶位移，总位移很快收敛，该轴力即小于屈曲临界力，位于边界时的轴向力即为欧拉临界力，其计算结果应该和建立微分方程的计算结果相类似。

      法始终用的是一阶分析法，却收到了考虑二阶效应的较好的效果。《新钢标》二阶 弹性分析即此原理。

    （2）对于多高层框架， 法把二阶效应转化为假想的水平力作用于结构，自始至终均采用一阶内力分下的 法。一般的建筑工程考虑二阶 应该即足够，当反复计算几次以上，新增位移仍不收敛时，说明结构的刚度太差了，有失稳的可能，需要加强，当然对整体结构手算已经不可能了，只好依靠程序，但我们还是有必要理解这个基本概念。

    对于整体结构，因情况复杂，假想的水平荷载需酌情乘于增大系数，高钢规建议1.05~1.20。

    五：刚架稳定理论在钢结构设计中的应用

     对于整体结构计算有两种方法，第一种即是传统的计算长度系数法，前文已多次说过。第二种方法为整体设计法，简称 高等分析法 ，即《新钢标》所说的 直接分析法 。直接分析过程中不再将刚架拆分为多柱和横梁，不再需要逐个验算其稳定，而是将刚架作为一个整体结构直接计算其承载力，使其符合设计要求，因此在计算整体刚架时只用到构件的几何长度，完全不涉及构件的计算长度，无需确定构件的计算长度系数。

   （1）长度系数法

    按照一节分析进行结构的内力分析，求出最不利组合，根据整体结构的弹性稳定理论确定的计算长度计算单个构件的承载力，即《新钢标》的哟姐弹性分析法。

    但是在实际工程中，一些特殊的结构，比如长短柱、斜柱、混合有摇摆柱时的结构等计算长度系数很难确定，规范倒是给出了有摇摆柱时的计算长度系数的修正方法，但规范不可能涵盖所有的情况，对于复杂的结构，规范法显然是有局限的。

   （2）考虑柱本身 效应和结构整体 效应的设计方法。

    该方法即《新钢标》的计算方法。对于 效应的影响，规范对于柱构件计算公式中已经给予考虑。而考虑 效应时，结构分析中已经考虑二阶、甚至三阶四阶的位移在垂直荷载作用的下的弯矩，框架柱承受的弯矩是接近真实的轴力和弯矩，故计算长度可以按其几何计算长度。

   本质上讲，二阶 效应分析仍为一阶弹性分析法的思路，只是用简单的方法反复叠加计算考虑了 效应而已，但没有考虑构件材料弹塑性、残余应力、构件本身的几何缺陷等，故还得用考虑稳定系数的规范的基本公式计算，只是计算长度系数可以考虑为1或其它合理的值。

  

    文章到此就为理解《新钢标》 二阶分析打下了概念基础。很多人认为结构 二阶分析结果的 安全度 一定大于一阶弹性分析，其实不一定。一阶弹性分析不是没有考虑 二阶影响，只是方法不同，其方法是采用加大构件的计算长度系数，所以对于水平力较小时的结构，采用一阶分析法其安全度可能大于二阶分析法，但是二阶分析法显然是更加准确的，也就是说 一阶计算方法有时候可能是偏于保守的 ，这个心里要清楚。

2021年3月4

参考文献：

1：钢结构稳定理论及设计，陈骥

2：《新钢标》及条文说明。

3: 17钢标疑难解析，王立军

4：原《钢结构设计规范》