现在开始论述 二阶P△ 弹性分析与设计 。需要说明的是该分析仍属于 弹性阶段 的分析，只不过考虑了 P△ 的大 △ 的影响而已。可以用 有限元分析 也可以用简化的一阶效应直接乘于增大系数的 效应放大法 。为了使理解容易，先从钢筋混凝土结构的二阶影响的分析和设计说起。   

  

     一：钢筋混凝土结构的二阶弹性分析与设计

    《混规》5.3.4做了原则性的规定：

    

       附录B就是采用的简化的效应二阶效应直接增大系数法。

    二阶效应增大增大系数 大小和结构的刚度密切相关，即结构侧向刚度越大，二阶效应增大系数越小 ，见下式：

   

    《高规》对什么时候考虑二阶 做个规定，即不满足5.4.1要刚重比的要求时：

    位移效应增大后需要满足《高规》3.7.3规定的 弹性位移比 限制，所以位移效应增大计算时，梁、柱刚度按弹性刚度计算不折减。     高规5.4.3对近似的计算方法进行了规定，和《混规》规定的计算方法相同。

    考虑二阶效应的内力增大时，细长的偏心受压柱的受力状态大致是受拉区混凝土已开裂钢筋屈服不久，所以应该考虑弹性刚度的折减。

《混规》附录B的折减方法如下：

    

二阶 P△ 的影响主要对结构侧移产生的内力比如柱子和相关水平梁的弯矩（弯矩而产生的剪力）进行增大，考虑侧移时不引起变化的内力比如柱子的轴力、扭矩等不增大。     高规为了简化，统一弹性刚度折减系数为0.5（规范条款未说，在条文说明里提到了）。

  

    二阶弹性分析考虑的是整体结构因水平位移几何非线性造成的效应的增加，不是构件本身缺陷和弯曲小 的引起的局部二阶效应。对于小 的影响，即使不考虑整体二阶影响时，构件计算中也已经进行了考虑，文（四）中已谈到，即《混规》的6.2.3、6.2.4、6.2.5条的规定。

    二：有限元法计算的混凝土结构弹性二阶 P△ 分析

    比较精确是应用有限元算法。无论混凝土结构还是钢结构，二阶弹性分析的整体结构的有限元（杆元）的计算原理都差不多，但单独构件的计算有天壤之别。

    下图是有限元力学计算分析模型：

一阶有限元 计算结果如下图：

     一阶弹性分析因为是弹性阶段的几何线性分析，可以用各荷载工况效应进行组合。   

    而弹性二阶 P△ 有限元分析是先进行水平荷载下的结构分析，得出一阶分析下的结构整体水平位移 ，再在已经水平侧移的模型下进行垂直荷载的效应分析，计算结果如下：

注：上图一阶变位后的模型在垂直荷载作用下的位移图实际应为新增的水平位移和初始模型垂直荷载作用下变形（见上上图）之和，但为了简化，本图只绘出了和 有关的增大的水平位移部分。

    上图在有限元计算中，一阶水平荷载产生的水平位移模型在垂直荷载的作用下会发生新增水平变位，相应的弯矩也会增大，增加的位移和弯矩统称效应即为考虑二阶 P△ 效应的有限元的弹性分析。

   上图采用的是恒荷载与活荷载分别计算效应后的效应的组合，两个效应分别一阶变位模型下进行的计算然后进行的效应组合，严格上是不准确的。

     应该是次序加载进行计算，比如先加恒载，产生了恒荷载下的二次变位 △2 ，活载在两次变位之和（ △1+ △2 ） 为基础的结构模型上加载得到 △ 3 ，而这个 △ 3 一定大于上图中的 △ 2 。

   见下图：

    

      上图表示是次序在不同变位模型上加载得到的效应组合和等同于先把荷载进行求和再在一阶变位模型上进行加载的效应。

     考虑二阶 P△ 效应分析实际是弹性阶段的 整体几何非线性 分析，在进行 几何非线性分析 时， 应该先进行荷载的组合，然后在进行效应计算，而不是线弹性分析的各荷载工况的效应组合 ，原因就是上图所示。

    《建筑结构可靠度标准》对此做了规定。只有在 线 弹性时，才可以进行荷载效应的组合，一般 几何非线性弹性和弹塑性均应采用荷载组合后的效应分析 ，见下图：

    在用有限元法进行二阶 P△ 的分析时，《混规》规定也要考虑构件开裂对刚度的影响，但没有具体的要求。《高规》对此没有规定，是否按放大系数法那样的对刚度进行折减呢？

    

三： 高层混凝土结构的稳定问题综述

    1、计算分析表明，高层混凝土结构尤其是高宽比超限的结构有时二阶效应比较明显，有时比较严重。随着混凝土结构构件刚度的降低，二阶不利效应成非线性增长，因此需要对结构的弹性刚度和重量荷载的关系加以限制。如果刚重比较大，符合《高规》的第5.4.1的刚重比的要求，在已考虑刚度折减时（按折减50%计算）增加的二阶效应的内力控制在10%以内，就可以不考虑二阶效应的影响。

    2、当刚重比较大时，需要考虑二阶效应的影响时，可以按简单的增大系数法和有限元法。增大后的位移和内力应控制在一定范围，不能过大，增大后的位移仍应符合高规规定的弹性位移。

    3、结构的稳定性是高层建筑结构设计基本要求。研究表明，高层混凝土结构仅在重力荷载下产生的整体失稳可能性很小。稳定设计主要控制在风荷载及地震作用下，重力荷载因水平位移产生的二阶效应不能过大，以免引起失稳倒塌。结构的刚重比是影响 P△ 的主要参数。高规 强条5.4.4 就是对刚重比的严格控制。

 

     如果满足该条的规定，则在考虑弹性刚度折减50%的基础上， P△  效应的内力增大仍可控制在20%以内，结构稳定具有一定的安全储备。若结构的刚重比进一步减少，超过该条的控制， P△ 效应将成非线性几句增长，直至引起结构的整体失稳，所以在设计中必须满足。如果不满足规定，必须调整加大结构的刚度（减少结构的竖向荷载是比较经济的办法）。

    当非抗震或底烈度区及风荷载很小时，水平力较小，结构刚度虽然满足水平位移限制，但有可能不满足本强条的规定，要注意。

                                          2020年1月24

参考文献：

1：混凝土规范。

2：高层建筑滚凝土设计结构技术规程。

3：新钢标。

4：结构可靠度统一标准。