自然界的不规则方面、不连续和不稳定方面，一直是科学的难题，是无法解释的怪物。但70年代，美国和欧洲科学家开始找到了无序的门径——混沌。混沌揭示了有序与无序的统一，确定性与随机性的统一，它是非线性科学最重要的成果之一。它消除对于统一的自然界的决定论与概率论两大对立描述体系的鸿沟，使复杂系统的理论开始建立在“有限性”这个更符合客观实际的基础上。人们认为混沌是继相对论和量子力学问世以来，本世纪物理学的第三次大革命。混沌改变了人们看待事物的传统方式。例如，以往人们认为“简单系统行为简单”，“复杂行为意味着复杂的原因”，“不同的系统的行为也不同”。然而，混沌创立了另外一套思想：“简单系统产生出复杂行为。复杂系统产生出简单行为。最重要的是有关复杂性的定律具有普适性，与构成系统的组元的细节完全无关。”目前，混沌研究面已广及自然科学与社会科学的几乎各个领域，城市系统当然也不例外。混沌研究的学风是注重数学和计算机应用的学风。在此，我们介绍一些定性的原理和概念，以期更新有关城市规划的观念。
一 混沌的定义
混沌是一门正在发展、远未定形的科学，因此它有多种定义：
其一，混沌是一种未分化的状态。(中国古典著作中多这么称)。
其二，混沌是一种包含有序的特殊状态。如郝柏林称：混沌不是简单的“无序”或“混乱”,而是没有明显周期和对称,但同时具有丰富的内部层次的“有序状态”。D•科韦尼称：“混沌恰是自组织的一种特殊而有趣的形式，其中有超载的有序”。
其三，混沌是一种不可预测的随机行为。J•P•格鲁奇 、菲尔德等人认为，简单确定系统中产生的,搜集更多信息并不可能使之消失的根本随机性叫混沌。J•P•皮尔斯称：“混沌即不可预测的行为”。
其四，混沌是一种既有决定性，又有随机性的二重状态。戴维斯称：“混沌似乎在物理学的决定论规律和随机规律之间架设了一座桥梁。”
不同的定义抓住了某方面的特征，当我们对混沌的发现过程和一些具体表现有所了解后，以上的定义都是能理解的。但无论如何，混沌理论是系统科学。正如詹姆斯•格莱克所说：混沌是关于系统的整体性质的科学，它把思考者们从相距甚远的各个领域带到了一起。由于混沌的研究成果，“越来越多的人感到科学的划分成为工作中的障碍。越来越多的人感到与整体分割开来研究各个部分是枉费心机。”钱伟长认为， 自然科学、技术科学、社会科学与人文科学传统的学科分割界线即将会消除，它们将会结合成一个完整的科学知识体系。不同科学之间不再是“隔行如隔山”，而是相互“取长补短”。这种科学的结合，就是世纪之交科学发展的特点之一。
二 混沌系统的特征混沌系统有三个明显的特征。
其一，对初始条件的敏感依赖性。
这是混沌系统的典型特征。意思是说，初始条件的微小差别在最后的现象中产生极大的差别，或者说，起初小的误差引起灾难性后果。洛伦兹在他的玩具天气模型中发现了这一特性。他称为“蝴蝶效应”，“一只蝴蝶在巴西的丛林中扇动翅膀会在得克萨斯引起龙卷风。”在生活中，人们知道一串事件往往具有一个临界点，那里小小的变化会放大，例如，人行道上摆满自行车，导致行人走上车行道，又导致一次车祸，又导致交通中断几小时，又导致一连串的误事……。然而混沌意味着这种临界点比比皆是。它们无孔不入，无时不在。在天气这样的系统中，对初始条件的敏感依赖性乃是各种大小尺度的运动互相纠缠所不能逃避的后果，因此，洛伦兹断言：长期预报注定要失败。信息从小尺度传向大尺度，把初始的随机性放大。在社会经济活动中，某些因素可促使成千上万个业主一夜之间改变策略，从而导致经济形势的巨变，我们至少从1997年东南亚金融危机中感到了这一点。
其二，极为有限的可预测性
当系统进入混沌过程后，系统或表现为整体的不可预言，或表现为局部的不可预言。混沌研究者们在自然界和社会中发现了大量混沌现象，如湍流中的旋涡，闪电的分支路径，流行病的消胀、股市的升降、心脏的纤颤、精神病行为、城镇空间分布及规模与数量等级等等。
信息论认为，信息是对事物不确定性的一种量度。信息量大，消除不确定性的程度就大。我们拥有的关于某物的信息越多，对该事物的预测就会更准确。但是，当系统变得混沌以后，它成了一架产生信息的机器，成了连续的信息源，收集更多的信息变得毫无意义。那么信息是从哪里来的呢？以湍流为例，物理学家认为，来自微观尺度的热库，来自几十亿在随机热力学舞动中的分子。再以城市经济运动为例，信息来自成千上万个有决策权的业主的生产行为，来自千百万个消费者的消费行为，来自系统之外的环境的变化。
其三，混沌的内部存在着超载的有序
混沌内部的有序是指混沌内部有结构，而且在不同层次上其结构具有相似性，即所谓的自相似性。如由生物学家梅建立的并初步计算出来的、由数学家约克严格证明的逻辑斯蒂差分方程Xt+1=rXt(1-Xt)的解，当参数r超过3时，其解的轨迹出现分岔，而且一分再分，分岔点出现得越来越快，最后成为混沌的一片。可是，将混沌区的任何小部分放大，看起来与整个图相像。
混沌内部的有序还表现为不同系统之间跨尺度的相似性，即所谓普适性。费根鲍姆通过两种完全不同的反馈函数Xt+1=rXt(1-Xt)和Xt+1=rsinXt的迭代计算，即取一个数作输入，产生另一个数作输出，再将前次的输出作输入，如此反复迭代计算。当r值较小时，结果趋向一个定数，当r超过某值时，其轨迹出现分岔。值得注意的是前一个函数是生物种群变化的逻辑斯蒂方程，r值加大表示非线性程度加大，当非线性加大到一定程度后，来年的种群数变得无法预测。
令人惊奇的是两类完全不同的函数出现混沌之后，其分岔按几何收敛，收敛的比例完全一致，这是普适性的数学说明。普适性在自然界中的反映表现在复杂形状尺度变换现象：即物体在不同的尺度下观察时，它们所持有的不规则性;(可用“分维”描述);完全不变，在这方面对普适性作出重大研究的是曼德勃罗。曼德勃罗认为对自然界的某些客体，寻求特征尺度是枉费心机。如在飞机上看，20英尺外的云彩与2000英尺外的云彩是区分不开的；在空气中的骚动形成连续分布，从街角卷起垃圾的阵风到龙卷风；在生物的机体中血管的分支行为，神经纤维的分支行为，气管的分支行为，这些分支通道的迷宫，越来越小的尺度上具有自相似的组织。即从大尺度到小尺度保持一致的分支行为。具有跨尺度自相似性的形状称为“分形”。
三 分形与分维
分形就是其部分与整体存在某种自相似性的几何图形。分形的本质是形的变换与尺度无关，这种现象在自然界比比皆是。地震行为的物理学在相当大的程度上与尺度无关。大地震只是小地震按尺度放大的结果。云彩和地震一样有尺度变换现象，在不同的尺度下观察时，它们所持有的不规则性(用分维描述)完全不变。卫星云图的分析表明，从几百公里观察的云彩具有不变的分维。血管从主动脉到微血管，分支再分支，直到细得使血球细胞被迫排成单行滑动，它们的分支性质是一种分形。曼德勃罗发现了计算分维的方法。在欧氏几何中，立体是三维的，平面是二维的，线是一锥的，点是零维的。高于零维的形体可以看成无穷多个点的集合。如单位长度是N个点组成，单位正方形由N2个点组成，单位立方体由N3个点组成，其中N趋向无限大。一般地，一个D维的物体是由LD=N个点组成。
其中：D为维数，L为直线，N为点集。两边取对数，有：
式中：ε为直线上的微小长度，N(ε);是为单位长度的正方体、正方形或线段覆盖分形图的计算量。
以作为海岸线模型的科克曲线为例，取边长为1的等边三角形，将每边中段1/3换成尺寸为1/3的三角形，成为六角形，如此继续下去，边界长度是3×4/3×4/3×4/3…直到无穷。但面积永远小于包围初始三角形的圆，于是一条无限长的线包围一快有限的面积。它不同于自然界的任何事物，成了一种反常现象，它是一种分形。
科克曲线的分维数为：
科克曲线的维数为1.2618，比1大，比2小，所以是分维，而不是整数维，反映它占有一定空间。 自然界的实际事物不像欧几里德几何形状那么规则。例如，云彩不是球面，山峰不是圆锥，闪电路径不是直线。欧几里德测度棗长度、宽度、厚度棗不能抓住不规则形状的本质。曼德勃罗深入研究了自然的几何性质，创造了分形几何学。
大自然发明的分形结构工作得非常有效。为了生理的需要，血管必须像科克曲线把无限长的线挤进小面积，呼吸系统必须把巨大的表面积挤进有限的体积，植物界的树，其枝叶也是分形的，以便有效地吸收阳光，同时还要抵抗风力。
四 混沌开辟城市规划新思维
了解混沌与分形对于理解城市的某些性质有一定意义。
第一，我们可以认识到城市系统状态有混沌的一面，也有有序的一面。可以说它的发展在空间上是有序的，在时间上是混沌的。所谓在空间上有序是说城镇体系分布和单个城市的空间发展不可能是随机的，不可预测的，不可能有无穷多个方案。在一定的自然和社会经济条件的约束下，城镇体系分布和城市空间布局按一定的规律发展。如“中心地”理论、“点－轴”理论、“卫星城”理论等均是城镇体系分布的规律的反映；单中心城市、组团城市、带状城市等是城市空间发展形态的描述。所以说城镇体系与城市空间形态是可以预测的。但是，城镇发展速度和建设项目与机遇有关，是难于预测的，表现出混沌性。既然如此，城市规划就不必精确安排人口与用地规模的时间进程，毫无项目的详细规划用处不大，规划应该有适当弹性。
第二，分形所揭示的系统整体与部分的自相似性在城市系统中也有明显的表现。如雅典宪章所说的“四大功能”，整个城市具备，各分区具备，各小区具备；城市道路网系统从主干道系统，次干道系统，支路系统，小路系统，一分再分，呈现出自相似特征；人的活动与建筑密度在空间上并不是均匀的，城市相对农村密度大，城市中心相对全市密度大，区级中心、小区级中心相对全区和小区密度较大；全世界有不发达国家和地区，一个国家有不发达省区，一个省有不发达地区，一个城市了有不繁华的街区，同一条街道有不繁华的地段等等。事实上，部分与整体的相似已成为人们认识空间地域系统有力工具，进行城市系统分析的依据。
芬兰建筑师沙里宁为缓解由于城市过分集中所产生的弊病，提出了有机疏散论。他用研究生物和人体的认识来研究城市。他举树木生长的例子，大树枝从树干上生长出来时就本能地预留空间，以便较小的分枝和细枝将来能够生长。他的理论是把无秩的集中变为有秩的分散。沙里宁应用了普适性，城市系统与生物系统存在跨系统的相似性。
克里斯塔勒的中心地理论是分形理论在城市规划理论中的又一表现。在作出几个假设之后，克里斯塔勒得出一个城市平均与六个城市相邻的结论。不同级别的城市都是如此，形成自相似的六边形网络。
第三，混沌有时是健康的，规划师要学会与混沌打交道。城市系统是非线性的，这一点人们已有了认识，但对于城市系统的非线性特性还研究得很不够。学城市规划专业的人学的数学本来就不多，学微分方程也只是讲可解的线性的，或者加上少数几种靠线性近似求解的非线性方程。即使是从其它专业过来攻城市规划的人的头脑主要也是接受决定论训练，或者接受一些随机论。总之，我们这些人的头脑对诸于引力方程、线性规划、正态分布、线性回归等容易接受，对分类、分期、分区很习惯，对于对比、对称、韵律、起承转合之类津津乐道。但是，我们讨厌混乱的东西。可是那些讲轴线、讲中心、讲韵律的规划作了一遍一又遍，很少实施过。近年来，又有一种倾向，将小城市总体规划作到控制性详规深度，对几十年后的规划以某种粗略的用地分块配上几项控制指标，企图以此来指导几十年内的城市建设。我们全然不知城市发展在时空上的混沌性。当实际建设进程打破规划后，到下轮规划只得对此勉强予以承认。规划师就是处在这种无休止的矛盾之中。詹姆斯•格莱克说：无论科学家和非科学家，如果他们没有恰当地与复杂性取得协调，都很容易在关于复杂性的问题上误入歧途。实际上我们很少懂得自然界的灵魂深处是如何地非线性。规划师天天要和无序打交道，因此我们必须了解无序。 必须认识到，混沌是非线性系统的本质特征；混沌是有序之源，混沌是健康的，混沌是富信息的。经济的多成分，投资的多渠道，人口的多流向，这些“混乱”为城市系统的发展提供机遇。过分的城市功能分区并没有活力，倒是“混沌”的综合区能提高城市的综合效益。
第四，混沌与城市建设的美学观念
工业化大规模生产与几何形态一拍即合。方形的房子，笔直的马路，圆形的广场……。但是人们越来越不以其为美。德国物理学家爱伦堡说：“为什么一棵被狂风摧弯的秃树在冬天晚空的背景上现出的轮廓给人以美感，而不管建筑师如何努力，任何一座综合大学高楼的相应轮廓则不然？在我看来，答案来自对动力系统的新看法，我们的美感是由有序和无序的和谐配置诱发的，正像云霞、树木、山脉、雪晶这些天然对象一样，所有这些物体的形状都是凝成物理形式的动力过程，它们的典型之处就是有序与无序的稳定组合。”人是自然的产物，自然的东西容易与人的大脑美感发生共鸣，产生愉悦感。而过分几何化的东西易使人疲劳。这大概是高速公路筑成曲线相接的美学理由之一。因此，城市规划建设应更多地效法自然。
