某工程 600 厚的筏板底板，板及剪力墙下桩基础采用的是图集 10G409 《预应力混凝土管桩》 42 页中 PHC500AB100 的作法 , 见图 1 钢筋截图部分

由于工艺需要，桩根数多，只能人工在桩上弯曲角度，现场许多工程人员对如何检验竖向钢筋与水平夹角 ≥ 75 °束手无策。作为监理人是高智能有偿技术服务 , 不能随波逐流，于是我用几何与物理知识，用工地有较好直角边的支模层板边角料，制作成 75 °、 15 °、 90 °的直角三角形（ AEC ），在直角三角形平面内作一个相似三角形（ HKL ），在 H 点钉上一颗小钉作为指针的旋转轴，用工地绑扎钢筋的扎丝制作成能在竖直平面左右摆动的指针其重心始终向下，将∠ LHK 等分成 6 份 15 °角（也可分 5 °、 10 °）以便大概判断偏角小了多少，这样一个简易的检测工具就制作好了，为方便携带使用，锯掉 15 °锐角的一部分。理论上完全正确，只是在制作过程中锯子切割线有一定的微小误差，但是也能保证其准确性。实物图见图 2  

制作好简易工具后，先把理论讲给使用的人听明白，并教会正确使用方法，即将检测工具的斜边与待检斜钢筋上面紧密贴合，三角板平面与大地水平面垂直，指针能左右摆动为宜，见图 3 ，指针向三角形斜边偏移，说明角度＜ 75 °；指针向长直角边偏移，说明角度＞ 75 °；指针与制作时弹出平行于长直角边墨线重合，说明角度＝ 75 °。

以下说明制作所应用的数学理论，  

要分两次才能制作出 75 °、 15 °、 90 °的直角三角。

第一、30 °角的特殊直角三角形对边等于斜边一半的数学原理。在工地上找一块直角方正的边角料层板，层板 90 °角定为 A 点，短直角边长度取 35 厘米（可视情况而定）量取于 B 点，以 B 为圆心， 70 厘米长度为半径画圆弧交长直角边于 C 点，连接 ABC 即为一个分别为 30 °、 60 °、 90 °（层板的直角）的直角三角形 ABC 。∠ A90 °、∠ B60 °、∠ C30 °  

第二、 在 CB 斜边上量取 CA ＝ CD ，连接 AD 分其中点于 F ，再连接 CF 并延长与 AB 交于 E 点，连接 AEC 则得新的直角三角形 AEC 。锯掉三角形 EBC 就得到检测工具 AEC 三角形板，∠ A90 °、∠ E75 °∠ ACE15 °。见图 a  

检测工具指针的制作；在新三角形 AEC 中弹出两条分别平行于两直角边且距离边缘都 10 厘米（可视情况而定）的墨线相交于 H 点，画图时用红色标记，以便图面醒目区分，其它分别交斜线于 K 、 L 点。三角形 AEC 与三角形 HKL 为相似三角形，因为∠ C 与∠ HLK, 是同位角。∠ E 与∠ HKL 也是同位角。在 H 点钉上一颗小钉并绕上笔直能左右摆动的扎丝（扎丝视情况确定长短）。见图 b  

图 b 。  

这样一个检测工具制作完成，其实物成品就是图 2 的检测工具。使用时的数学原理说明：三个假设，第一个假设桩的斜向钢筋与大地水平面成标准的 75 °时，竖向角就是 15 °；三角形的 CE 边紧贴钢筋上表面， H 点指针与 HL （红线）重合。与图 b 一样。  

第二个假设，第二个假设桩的斜向钢筋与大地水平面成＞ 75 °，竖向角就会＜ 15 °；三角形的 CE 边紧贴钢筋上表面， H 点指针偏离 HL （红线）向作三角形 AC 边移动，与图 2 一样。以上两种假设都满足设计（图集）的需要，这两种讨论就无意义，重点是第三种斜向钢筋与大地水平面小于 75 °，用检测板检测少了多少？并给于纠正！见图 N 。∠ 5 ＜ 75 °不满足设计（图集）需要。

现在用数学几何原理来证明差值角度，模拟将实物钢筋分离出来， CD 为桩的斜向（任意斜向）钢筋，  

1 ：过 C 点作垂直于大地水平线的虚线 CM （作虚线主要是为了方便看图）。  

2 ：用检测板 AEC 的斜边 CE 紧贴斜向钢筋 CD 的上表面， H 处的指针在重力作用下就会垂直向下出现，即 Hh 箭头线！  

3 ：再过 A 点作垂直于大地水平线的虚线 AB （作虚线主要是为了方便看图）。则有  

4 ： MC ∥ AB ；∠ 1= ∠ 2 ，因为是内错角。  

5 ： AC ∥ HL ；∠ 2 ＝∠ 3 ，因为是内错角。  

6 ： AB ∥ Hh ；∠ 3 ＝∠ 4 ，因为是内错角。  

所以 ∠ 1 ＝∠ 4 ，即是差值角，有因为∠ ACE ＝ 15 °，∠ MCB ＝ 90 °  

根据设计要求 ∠ 5 ≥ 75 °，暂取其最小值∠ 5 ＝ 75 °。  

由上图得： ∠ 5=90 °－∠ ACE －∠ 1 ; 又因∠ ACE 制作时为 15 °  

所以 ∠ 5 ＝ 90 °－ 15 °－∠ 1  

∠ 5 ＝ 75 °－∠ 4 （∠ 1 ） ； 75 °＝ 75 °－∠ 4  

只有当 ∠ 4 为 0 时；上述式子 成立，符设计要求， 即是指针 Hh 与 HL 重合，若偏离多少，就是 75 °角的差值！  

愿与君共勉，探讨应用数学解决现场实际问题，提高监理同行的技术管理水平，本稿若有不妥之处，诚恳接受斧正！  

作者：马靠奋蹄

2024 年 6 月 23 日