一 研究意义 近几十年来，人行桥设计和使用发展迅速。设计师使用新的、更轻的材料和结构布置形式，从而实现较小的横截面和较长的跨径。当前欧洲规范和美国规范中的条款却并未指出应如何评估正常使用极限状态下的此类结构性能，尤其是结构的横向响应。有些规范给出了相关条款但采用的方法并非基于该领域的最新研究成果，与实际情况不符，且非常依赖于结构动力特性计算软件的使用。由于分析时间和软件的限制，最新文献中采用的复杂非线性荷载模型，对于大多数设计部门并不方便实用。而在早期设计阶段准确地评估结构响应是否满足正常使用的要求（比如预计的最大振动加速度是否在行人可接受范围内）十分重要。鉴于此，本文基于新的、经过实验对比的随机行人荷载模型，结合多学科的最新研究成果和大量精细的有限元计算结果，提出了一种简化手算新方法，用于快速、准确地确定人行桥的关键频率范围。由于在构造方程的时候采用的物理量是结构几何形状和材料特性等基本参数，该方法在不同结构形式中具有较好的适用性。
一
研究意义
近几十年来，人行桥设计和使用发展迅速。设计师使用新的、更轻的材料和结构布置形式，从而实现较小的横截面和较长的跨径。当前欧洲规范和美国规范中的条款却并未指出应如何评估正常使用极限状态下的此类结构性能，尤其是结构的横向响应。有些规范给出了相关条款但采用的方法并非基于该领域的最新研究成果，与实际情况不符，且非常依赖于结构动力特性计算软件的使用。由于分析时间和软件的限制，最新文献中采用的复杂非线性荷载模型，对于大多数设计部门并不方便实用。而在早期设计阶段准确地评估结构响应是否满足正常使用的要求（比如预计的最大振动加速度是否在行人可接受范围内）十分重要。鉴于此，本文基于新的、经过实验对比的随机行人荷载模型，结合多学科的最新研究成果和大量精细的有限元计算结果，提出了一种简化手算新方法，用于快速、准确地确定人行桥的关键频率范围。由于在构造方程的时候采用的物理量是结构几何形状和材料特性等基本参数，该方法在不同结构形式中具有较好的适用性。
二
研究内容
1
方法理论基础
文中介绍的方法是基于一种非常简单的概念模型。总体思路是，人行天桥在正常使用条件下的响应本质上反映了结构特性和行人荷载特性相互作用产生的共振特性。因此，建立了一个基于物理量的方程，确定了在正常使用条件下对简单桥梁加速度响应最重要的关键频率范围，方程的建立是基于量纲分析中Buckingham提出的π定理。有七个输入变量（结构质量、跨径、材料阻尼比、抗弯刚度、行人质量、步频和步长）用于预测一个响应变量（隐式函数f（x）中总共有八个变量，即n=8）。当考虑横向加速度时，还需要两个附加参数，即行人步宽和行人高度，这意味着在横向情况下n=10。
2
行人荷载描述
当行走时，个体在被支撑的表面上施加垂直和水平力。作用力的定义很复杂，涉及许多参数。然而，目前许多规范和指南对行人荷载的定义过于简单，对荷载的简化描述与步频和荷载幅值有关。而且在这些方法中，最大载荷幅度是步行者重量的函数，与步态无关，这与真实情况不符。此外，其中一些方法对横向和垂直荷载使用相同的数学定义，这在描述实际横向运动结构中的非线性行人-结构相互作用时不合理。文中工作是通过对行人荷载的真实情况和实验对比描述获得的，如图1a所示。该模型考虑了行人间的变异性、行人在交通流中的相互作用以及行人与结构之间的相互作用。由于在评估正常使用性能时，纵向振动通常不重要，因此忽略了行人引入的纵向荷载。
图1 a 行人引起的横向和垂直荷载；b 标准化的行人垂直荷载幅值 Fp,v/Wp随时间变化图（Wp是行人重量）；c 行人荷载的横向平衡基本受力图；d 标准化的行人横向荷载幅值Fp,l/Wp与时间的关系图（对应不同步频情况）。
已有研究表明，人群中行人步频的分布并不是固定的，它依赖于许多参数。Bertram和Ruina（2001）在实验测试的基础上证明了行人步频和行走速度之间有明显相关性，而Weidmann（1993）则表明，行人的速度取决于年龄、体型特征、出行目的和行人密度等方面。想准确描述行人荷载，需要考虑这些问题。因此，作者提出了用概率关系（Ramos Moreno et al.2020）来定义行人目标速度和频率。行人的目标速度是根据年龄和身高、出行目的（考虑到三种不同的类别，商业：包括年龄在20岁至65岁之间的与工作有关的出行者，但不包括他们往返家中的交通；通勤者：指工作/学习场所和家庭之间的行人，不考虑其年龄；休闲：包括购物、旅游或与休闲相关的行程）和人群密度来定义的。根据行人速度得到行人频率。通过这些基本关系，基于英国和西欧人口数据，根据出行目的和人流密度定义了步频分布（图2）。
图2 不同出行目的和人流密度的人口步频图。其中μ是平均值，σ为正态分布值的标准差。
3
垂直和横向结构频率
简支梁振动频率有：
（1）
带入竖向和横向截面惯性矩得到，第n阶竖向和横向结构频率表达式如下，具体符号含义请见原文。
（2）
（3）
在初步设计中，结构的垂向和横向频率可直接由以上两个公式得到。而在详细设计中，它们可以从简支梁振动频率公式中估算或直接从有限元（FE）模型中获得。
4
共振参数
控制人行桥在行人荷载作用下的竖向和横向响应的主要参数是结构的竖向或横向频率与相应行人频率的比值。公式（4）和（5）分别给出了第n个竖向结构频率和行人竖向频率fp,v之间的比值，第n横向结构频率和横向行人频率fp,l之间的比率。
（4）
（5）
其中φs,n是调整系数，参数φs,n与跨数和几何布置有关。对于简支梁φs,n=1。对于两跨和三跨梁，该系数可直接从图3中获得。
图3 φs,n 随模态阶数和跨数的变化图
5
单个行人引起的最大垂直和横向加速度
由单个行人引起的最大垂直加速度（av）和横向加速度（al）由式（6）和（7）给出。结果表明，在每种情况下，响应主要由单一振动模态控制。因此，使用这种简单方法得到的结果与更精细的模态组合规则得到的结果相差不大。
（6）
（7）
φpm和φph是与行人质量和高度相关的系数；φsl和φsw是与行人步长和步宽相关的系数；φd是与结构阻尼相关的系数；φsm是与结构质量相关的系数。这些系数如何取值，文中都有具体详细的介绍。
6
人群和连续行人流动引起的竖向和横向加速度
估计行人群或行人流的加速需求的问题比估计单个行人的需求要复杂得多。在Ramos等人2020年的研究中，这些问题是以概率的方式考虑的，但是过程远比初步设计所要求的要复杂。基于这个原因，作者提出了一种简单的方法来获得来自人群和连续行人流动的一阶估计。一旦考虑了横向加速度，也必须考虑行人-结构相互作用对一群行人反应的影响。如果行人注意到甲板的横向移动，他们可以首先调整步态，以确保不会失去平衡。这种步态的加宽导致行人引入的横向荷载增加。横向荷载越大，人行天桥的横向响应越大。因此，作者给出式（8）和（9）解释这些非线性相互作用效应，同时还有av,g和av,s的表达式，详见原文，不再赘述。
（8）
（9）
7
方法验证（与实验结果对比）
以Hringbraut人行天桥为研究对象，采用所提出的方法预测，一个体重为800N的行人步频为2.06Hz在竖向频率为2.06Hz的桥上行走时，产生的峰值垂直响应为0.37m/s2；两个体重相同的行人产生的峰值垂直响应为0.74m/s2。根据测量结果，在实际结构中，单个行人以同样2.06Hz的步频行走会产生接近0.38m/s2的峰值响应（有一种工况出现峰值为0.46m/s2的情况除外），而两个行人会产生0.71m/s2的峰值加速度。实测值与该方法预测值基本一致，差异在5%以下。
表1：Hringbraut人行天桥（冰岛雷克雅未克）的正常使用响应实验记录和本文所提方法预测的响应值对比，其中ped为对应行人步频。
通过比较行人在Aldeias人行天桥（戈维亚，葡萄牙）实验测试记录峰值响应与采用所提出的方法预测的运动响应值，发现文中所提方法尽管简单，但结果却很相似。同样验证了所提出方法的效率，在此不再赘述。
8
方法验证（与仿真结果对比）
图4比较了数值计算和采用方法评估两跨（L+0.8L）结构垂直响应的结果，两跨（L+0.8L）由行人以2.16Hz的频率穿过，步长为0.65m（行人重量为700N），结构为T形板截面，深跨比h/L=1/35，阻尼比为ζ=0.005（即，对于与参考案例中考虑的参数不同的一组参数）。简化方法的计算结果与数值计算结果的接近性表明，该方法计算简单，精度较高。
图4 L+0.8L的两跨桥梁竖向响应对比
图5比较了使用详细数值程序和简化方法计算的简支结构的最大横向加速度。所考虑的结构具有h/L=1/35和ζ=0.003的组合箱梁横截面，而假设行人以阶跃频率fp=2.16 Hz和步长0.65 m行走。图5所示的结果再次表明，本文提出的简化方法预测响应的程度非常好准确度。
图5 简支梁横向响应对比
9
常规人行天桥的正常使用性能评估
本节对常规人行桥梁的不同设计方案，考虑密度为0.6 ped/m2的通勤或休闲行人（mp=71.36 kg）流作用下结构适用性进行评估。
图6 密度为0.6 ped/m2的行人流作用下，以通勤或休闲为目的的简支桥梁结构在垂直和横向的正常使用性能评估
从图6中也可以清楚地看出，结构响应对主跨长度和行人密度都有很强的依赖性。考虑到对这些参数的强烈敏感性，以及本文提出的方法的简化性质，很明显，任何设计决策，即使在初步阶段，也应考虑这些参数的不确定性。还应考虑与假定阻尼比相关的不确定性。
三
研究结论
本文提出了一种在行人荷载作用下梁式结构使用性能评估的方法。本文概述了这一过程的步骤以及由这些荷载引起的垂直和横向响应的基本假设。与当前已有方法相比，本文提出的方法明确提出了正常使用时对行人产生的横向加速度的评估，它基于对行人荷载的真实情况和实验结果对比描述，并且不需要使用任何软件或复杂的分析技术。
1）对响应的充分评估包括对行人荷载和结构特性的全面描述。尽管本文提出的方法旨在简化行人诱发振动的评估，但它仍然包括对荷载（荷载量级和行人步频）的精确评估。对于结构性能，该方法提出通过少量的参数来评价结构的动态性能，即使在设计的早期阶段也很容易实现。
2） 横向响应的预测试图通过反映某个响应非线性的参数来考虑行人荷载情况下检测到的相互作用现象。这个参数表明，在某些情况下，横向的非线性响应可能比仅考虑线性结果时得到的结果更大。然而，应该强调的是，这个模型只能再现现实中可能发生的事情的第一阶段（它不能反映根据产生的响应或同步而改变的步频）。
3）所提方法获得的响应与实际人行天桥所记录的响应之间的对比，突出了该方法在人行天桥设计早期阶段用于评估正常使用状态下响应特征的卓越能力。
4）针对一组结构，对高级复杂数值程序结果和本文简化新方法的响应值进行比较，结果表明，该方法是初步设计中评估结构竖向和横向响应的合适工具。
5）加速度的估计对跨度和交通荷载情况的类型非常敏感。对于设计中通常考虑的常规截面，一旦确定了跨距长度和行人荷载值，该方法就可明确应规避的跨径范围。
6）重要的是要认识到，所提出的方法的简便性可使设计师用很少的计算工作量获得对加速度的估计。本文结果的高度敏感性，意味着敏感性分析是设计过程中不可缺少的组成部分。
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