Dino结构笔记这一期分享一下截面几何属性的求解方法中的格林公式的应用。

[小记]：有一天在群中朋友讨论有没有快速方法得到不规则截面的最大惯性矩主轴角度，对方是由于总工要求排桩要对应主轴，我手头上有SAP2000与ETABS的SD SECTION截面设计器，我想SD section应该有这个功能，打开一看，好家伙，居然没有。那只能开发一个小程序来算了，后来发现现在有些《材料力学》的教科书关于惯性矩的知识，如格林积分原来是不教的，所以写以下一篇笔记。

一般我们碰到复杂的钢筋混凝土截面或者钢截面的应力计算的时候，需要求解它们的几何属性，如绕x轴的惯性矩，总面积，塑性模量等等，在上材料力学的课程时，老师通过积分的方法推导出如矩形，圆形的惯性矩计算公式，然后学习如何通过组合法求解工字型或T型截面的惯性矩，然后就完结了这个知识点的教育。通过学习编程来学习结构及有限元的知识，你就会发现，材料力学把一个很重要的东西没有教同学，那就是格林公式积分方法求解惯性矩、面积等。正如，小学老师教你三角形的面积等于1/2底乘以高，然后你就以为你会求解三角形的面积了，然后你就会发现，现实的工程计算用得最多的是以下公式。

 
数学：已知三点坐标求解三角形面积

对于学习工程的同学来说，掌握每个问题的万能公式或者叫一般形式公式，比学习聪明解法或特殊解法来得重要，格林积分公式的精华就是，截面的属性可以通过连续的外边界点坐标求得，只需要知道多义线的坐标位置就可以知道截面属性如面积，形心，惯性矩等等，这个计算方法广泛用于电算，实际工程的应用，材料力学的课本没有教，其实同学只要会excel就能计算的东西，建议以后的材料力学课本加上这方面的内容，不要老是教（1/12）bh^3。
 

材料力学教学PPT关于组合截面惯性矩的求法

格林公式常用于截面属性的计算如下式所示：

其中式(1)~式(3)是用来求解面积与形心的。
其中式(4)~式(6)是用来求解截面的惯性矩与惯性积
通过式(7)~式(9)，再根据求得的惯性矩与惯性积就可以求得截面的主轴及绕主次轴的主次惯性矩了。
学习编程的同学可以参考源代码文件。

同学们可以通过编写excel求解如下图形的截面形心与惯性矩，excel表格提供下载，通过excel可以更加直观地学习格林公式的编程方法。
 
 
示例中的多边形截面

表格中有ETABS进行截面计算的结果作为参考

对于复杂截面的惯性矩计算，其实有两种方法，一种是格式公式法（精确方法），另外一种就是纤维单元法（近似方法）因为纤维单元法的计算精度与纤维划分有关，如以下L形的截面，进行纤维网格划分以后，可以得到惯性矩等截面信息如下，与格林公式的对比如下。
 

采用ETE-SEC对L形截面进行纤维网格的划分
 
 
采用EXCEL表格求和（由于三角形面积足够小，自身的惯性矩为0）

大部分情况，我们把这个功能做成AutoCAD的插件供大家使用，如下图所示。在AutoCAD绘制多义线，选取多义线，点击计算就可以计算截面的形心（还可以标注）、面积及惯性矩。AutoCAD 小插件程序的下载方法可见下面链接（支持AutoCAD 2016），操作的动画如下图所示。 

软件的操作动画（支持AUTOCAD2016）

 最后，要注意的是，一般格林公式法对于圆，圆弧等，需要把圆弧或圆进行多义线处理后方便后续计算，对于开洞的情况，要采用增加闭合环路处理，如下图所示，这个比纤维单元法麻烦一点。同样开洞可以通过截面信息的减法进行处理，这也是一种常用的方法（即大截面为正数，开洞作为小截面进行负数处理）。

 
开洞截面可以采用这样的闭合曲线

格林积分法得到惯性矩 Ixx = 1.87887E 16 (mm4) 

 
采用ETE-SEC进行开洞截面的纤维网格划分

纤维求和法得到惯性矩 Ixx = 1.8768E 16(mm4)


最后，关于截面分析中采用的格林公式积分方法，有3点想法：
（1）解决问题的方法往往不止一种。
（2）掌握问题的万能公式很重要，即使这个公式很复杂且不方便使用。

（3）教导工程师的教科书希望能增加一些实用的知识。

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