内容来源：《钢结构设计及计算实例》

有工程师提出疑问，根据欧拉公式，悬臂柱的计算长度系数只有2.0，钢柱的计算长度系数大于2.0合理吗？其实，在《钢结构设计标准》GB 50017-2017附录E的表E.0.2有侧移框架柱的计算长度系数中，就有很多计算长度系数大于2.0的情况出现（表1）。

有侧移框架柱的计算长度系数μ  表1

1.PKPM钢柱计算长度系数复核

以图1工程为例，核查PKPM软件（版本V5.1）第二层中柱Z1计算长度系数。钢梁截面均为H500x200x12x18，钢柱截面均为箱形600x600x20x20，层高4.2m，钢框架结构，按照一阶弹性分析方法，判定为有侧移框架。PKPM软件输出第二层中柱Z1构件设计属性详图2，由图2可以看出，此钢柱的计算长度系数为3.02。现手工复核如下：

图1 结构平面图

图2 第二层中柱Z1构件设计属性

第二层钢柱Z1相关梁、柱如图3所示。

图3 梁柱连接情况

K ₁ =K ₂ =0.1，查表1，计算长度系数μ=3.01，与软件输出结果μ=3.02基本一致。程序采用的是精确公式

应用渐进法求解，有时手算插值结果，可能与程序计算结果稍有差异。

2.三铰静定刚架计算长度系数算例

为什么第二层中柱Z1计算长度系数大于悬臂柱的计算长度系数2.0呢？陈绍蕃教授在他的《钢结构设计原理》 ^[3.1] 一书中的论述可以帮助我们理解这个问题。图4给出一个三铰静定刚架（选自美国土木工程师学会ASCE算例 ^{[3. 2 ]} ），它的横梁具有较大的刚度，在跨度中央承受一个集中荷载W。当已知W需要选择柱截面时，一个不熟悉稳定问题的设计者在把W分给左右两柱后可能会按两端铰支柱和悬臂柱去选截面，即左柱计算长度为h，右柱计算长度为2h，这种做法显然是错误的。框架在没有侧向支承时，失稳都带有侧移，所以侧移的影响不能忽视。如果认为悬臂柱失稳时上端是有侧移的，不必再另行考虑侧移的影响，也是不正确的，因为没有把框架作为一个整体来考察。下面来分析整个框架失稳而发生侧移Δ的情况。从左柱的平衡看，支点A必有水平力H，其值可由B点力矩和为零得出，即得

                    

           （1）

                      （2）

右柱相应的平衡情况见图4（c）。

下面推导同时承受水平力H和竖向力P的悬臂柱顶点侧移。按照变形后的位形来分析，在

图4 三铰刚架的稳定分析

小变形范围内柱内任一截面内有

                                                   （3）

由边界条件

可以解得

             （4）

                （5）

式中

图5 同时受水平力的悬臂柱

在公式（4）中代入 和 ，得

解得

即

这就是说右柱的计算长度应该是2.69h，而不是2h。如果按照2h计算，临界力比实际大了81%，很不安全。悬臂柱的计算长度为什么会大于2h？从整体上看框架的侧向刚度只能由悬臂柱提供，铰接柱毫无抗侧移的能力。因此悬臂柱对左柱上端提供弹性支座的作用，它的任务就不仅仅是承受本身的W/2压力，而是还要包括对左柱的支援作用，这种作用表现在承受水平力H。H和P的合力是一个斜向作用力。悬臂柱的计算长度可以由图6的 来表示，它大于2h。

图6 右柱计算长度

3.三铰静定刚架SAP2000验证

下面用SAP2000(版本V21.2.0)验证图4的三铰静定刚架右柱的计算长度系数，跨中施加W=1kN的恒载，跨度l=3000mm，层高h=6000mm，柱截面为箱形200x200x10x10，Q355钢材(图7（a）)。依靠欧拉公式（6）来获得构件计算长度系数。通常情况下，我们遵循如下步骤：

图7 三铰刚架

（1）在施加荷载工况下获得该构件的轴力N；

（2）以施加荷载作为激励荷载，运行屈曲工况，获得对应构件屈曲时的屈曲因子λ；

（3）计算构件的临界力P _cr =Nλ，然后按照式(7)获取计算长度系数μ，其中E为弹性模量，I为截面惯性矩，l为构件几何长度。

 

      （6）

 

    （7）

首先增加屈曲荷载工况（图8）。需要提醒读者注意，为使软件结果逼近理论上的精确解，还需要进行以下操作：

（1）因自重也属于恒载，为了剔除自重对柱临界力的影响，需将钢材密度设置为0。

（2）欧拉公式的两个基本假定，即：仅考虑弯曲变形，三角（正弦或余弦）函数的挠 曲线。

默认情况下，SAP2000 中的框架单元均为铁木辛柯（ Timoshenko ）梁，根据剪切刚度计算剪切变形；欧拉公式则假定剪切变形为零。为了实现欧拉公式“仅考虑弯曲变形”的假定，我们可以对框架对象或框架截面指定属性修正系数，将沿2轴和3轴的剪切面积的修正系数设置为零即可。

另外，SAP2000中框架单元的插值函数为三次函数，而欧拉公式采用三角（正弦/余弦）函数的挠曲线。因此，单个框架单元的变形曲线无法精确拟合欧拉公式采用的挠曲线。所以我们需要对框架对象进行适当的剖分（本算例将构件自动剖分选项最少剖分数量指定为10），则可以无限逼近理论上的精确解。

（3）忽略结构平面外失稳：在[分析选项]对话框中点击[平面框架-XZ平面]按钮，快 速选择有效自由度 UX、UZ和RY。

（ 4）忽略杆件轴向变形： 对构件进行属性修正，横截面面积放大10000倍。

图8 增加屈曲荷载工况

屈曲分析的前三阶结果见图9，第一阶屈曲因子为2768.58986。在W=1kN荷载下，右柱轴力N=0.5kN。临界力

计算长度系数

与理论上的精确解完全一致。

图9 荷载在跨中时屈曲分析的前三阶结果

如果将集中荷载W=1kN移至右柱顶（ 图7（b） ），屈曲分析的前三阶结果见图10，第一阶屈曲因子为2514.19247。在W=1kN荷载下，右柱轴力N=1kN。临界力

计算长度系数

与悬臂柱理论上的精确解完全一致。

图10 荷载在右柱柱顶时屈曲分析的前三阶结果

参考文献

[3.1]陈绍蕃.钢结构设计原理（第三版）.北京：科学出版社，2005.

[3.2]Lind,N.C.，J.of the Struct.Div.，ASCE,103，ST1,1977.

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