编者按：结构拓扑优化法是一种新兴的结构找型方法，通过结构分析技术与非线性优化算法,可以得出给定边界条件限制下,结构材料在设计空间内性能最优的分布方案。本文阐述了结构拓扑优化法的基本原理，并将其运用在实际桥梁的设计中，得出了受力合理且造型美观的桥梁结构方案。

图1 国外桥梁结构拓扑优化设计方案

结构优化是通过改变设计参数，使结构在满足应力、应变、位移等规范中的约束条件（约束函数）下，结构的某种性能指标（目标函数）最优。传统的结构优化方法仅局限于施工图设计阶段的尺寸优化，在保证结构功能性和可靠性的前提下，通过改变截面的尺寸参数，来尽可能降低结构材料的用量，而此时结构的改进空间已十分有限。

结构拓扑优化是结构优化的一种，但所需的初始限定条件较少，只需给定结构的设计区域、荷载和支撑，就可以得出该边界条件下合理的结构拓扑形式。优化过程中，不仅是结构的尺寸得以优化，而且结构的形状和拓扑形式也会逐步趋于最优。因此，结构拓扑优化法不只是一种结构优化方法，还是一种结构造型方法。该方法可用于桥梁结构的找型设计，在桥梁设计之初得出最有可能实现结构材料最优分布的桥型或构造方案。

结构拓扑优化理论最早可以追溯至1904年的Michell桁架问题,Michell采用最小重量优化准则实现了部分类似桁架的离散结构的优化。但由于其采用解析的方法，数学推导上极其复杂,所以难以应用于实际工程中。1964年Dorn、Gomory、Greenberg等人将数值理论引入拓扑优化领域，并提出了基结构的方法，从而克服了Michell桁架理论的不适应性。为解决连续介质优化问题，Bendsoe和Kikuchi建立了均匀化的方法，通过在结构材料中引入带方形空洞的微结构模型，将困难的拓扑优化问题转换为相对简单的尺寸优化问题。由于均匀化方法计算复杂，Bendsoe等人之后又提出了变密度法(SIMP),该方法将微结构中的三个几何参数简化为一个0～1的相对材料密度参数，从而使问题得到简化。此外，Xie等人还提出了基于生物进化理论的渐进结构优化法(ESO)，该方法简单直观，易于理解。之后，Xie等人又将该方法改进为双向渐进结构优化法（BESO）。同济大学桥梁设计方法与过程研究室较早将拓扑优化技术应用于桥梁找型设计中，并编写了高效而可靠的结构拓扑优化程序。

近20年来，新的拓扑优化理论不断提出，原有的理论也日臻完善，随着计算机技术和有限元方法的应用，拓扑优化技术已在航空航天、机械制造及土木工程领域中得到广泛应用，并可通过Hyperworks、Ansys、Nastran等大型CAE商业软件实现，但针对桥梁找型的研究尚属起步阶段。

拓扑优化原理

传统的结构优化中，通常将结构尺寸作为优化变量，在优化过程中截面的形状和结构的拓扑形式都不会发生变化。因此，该优化方法中设计可行域内所包含的结构形式非常有限。结构拓扑优化法的物理模型与结构分析中所采用的有限元模型一致。将设计区域离散化之后，每个单元都被赋予一个0～1设计变量，用以表示该位置材料的有无。当单元划分得足够细时，该物理模型则足以描述设计区域中所有可能的结构形式，如图2a）所示。

结构拓扑优化法在对结构形式进行优化时，通常以降低结构柔度为目标，同时限制结构材料用量。因此，柔度和材料用量关于设计变量的函数即为优化问题的目标函数与约束函数。利用有限元分析得出的结果可以计算出某一结构形态下，目标函数和约束函数关于每个设计变量的一阶导数信息，也称为目标函数和约束函数的灵敏度。目标函数与约束函数灵敏度之商，表征该结构形态下每个单元位置结构材料的价值。

由于设计区域离散后的有限元模型为超静定，设计变量之间相互耦合，所以不同结构形态下目标函数的灵敏度是不同的。对于这种非线性优化问题应该采用迭代形式的优化算法，利用结构的灵敏度信息来更新结构的设计变量，以使结构的性能逐步趋于最优。更新变量常用的优化算法有优化准则法（OC）、移动渐进线法（MMA）和渐进结构优化法（ESO）等。此外，为避免计算过程中的数值不稳定现象，优化过程中还会采用中间密度惩罚函数、过滤函数、控制周长等技术。

当设计区域内各个设计变量在相邻的两个迭代步间都变化很小时，可认为优化过程收敛，此时结构的拓扑形式即为最优，如图2b）所示。

（b）拓扑优化结果

图2 拓扑造型法基本原理图示

桥梁应用实例

下面以一座悬索桥桥塔和一座桥梁整体的设计过程为例，展示如何运用结构拓扑优化方法，来实现桥梁整体结构和主要构件的造型设计。

悬索桥桥塔造型设计

桥塔是一座悬索桥得以区别于其他桥梁的标志性构件，其造型设计往往是桥梁设计师设计过程中首要解决的问题。结构拓扑优化法从结构的实际受力出发，通过逐步更新设计变量使结构趋于最优。首先定义结构的设计区域，该设计区域应包含所有结构材料有可能出现的位置。其次，在该设计区域内需定义结构的边界条件，包含各个支撑与荷载的位置及大小。对于桥塔结构，主缆索传递至塔顶的竖向荷载和方向变化的横向风荷载是最主要的荷载形式。由于风荷载方向的不确定性，需要定义两个荷载工况，两个工况中风荷载大小相同方向相反。鉴于塔底支撑位置的不确定性，可将塔底处所有节点全部固结。

优化的过程可以由已有的商用软件完成，也可以自己编程实现。优化前需要设定结构材料用量，在二维桥塔优化中，将结构材料用量设定为优化区域的50%。优化初始时，设计区域首先被灰色的中间密度材料所均匀填满，此时所有的设计变量都为0.5。优化过程中，传力效率高的中间密度材料逐渐变为黑色的结构材料，而传力效率低的中间密度材料则逐渐变为白色的空材料，优化过程和最终结构如图3a）所示

(a）桥塔拓扑优化过程

（b）基于拓扑优化的桥塔设计

图3 悬索桥桥塔拓扑优化图示

优化的结果中两个塔柱之间由四根十字斜撑相连。由于桥塔上部以剪力为主，所以塔柱间形成了相互垂直的十字。而桥塔底部，除剪力外还存在很大的弯矩，所以塔底材料分布更多，且塔柱间并未形成明显的十字。在实际设计中，考虑到施工的便捷性，四个斜撑都设计为相互垂直交叉的十字。此外，考虑到桥梁的通行，斜撑的位置做了略微的调整，实际的设计方案如图3b）所示。

桁架桥造型设计

结构拓扑优化中也可以人为设置一些限制条件以获得预期的形状。在下承式桁架桥的拓扑优化中，将优化区域限制为一个较坦的拱形区域。优化过程中，结构材料首先在优化区域的边界聚集，构成桁架的上、下弦杆，用以抵抗内力中的弯矩部分。随后，上、下弦杆间倾斜的腹杆逐渐形成，用以抵抗内力中的剪力部分，如图4a）所示。基于拓扑优化结果的概念设计方案如图4b）所示。

(a）桁架桥拓扑优化过程

（b）基于拓扑优化的桁架桥设计

图3 桁架桥拓扑优化图示

为获得材料在三维空间内的分布情况，在桥梁整体结构拓扑优化中采用三维结构拓扑优化。三维结构拓扑优化与二维结构拓扑优化原理相同，但可以更准确地表达实际结构在各个维度的拓扑形式，从而给予设计人员更具启发性和指导性的设计概念。

与二维结构拓扑优化相似，三维结构拓扑优化的设计区域为一个能够涵盖所有结构材料可能出现位置的长方体。为简化计算，结构只考虑桥面上均匀分布的竖向车辆荷载。鉴于结构荷载和边界条件的对称性，计算时采用四分之一模型来模拟全桥。在初始模型的纵、横断面分别设置相应的面约束，以保证简化模型与整体模型受力形态一致，并在设计区域中靠近岸边的底棱位置的节点完全固结。优化区域最上面一层单元为行车道板，为保证其在优化过程中不会被删除进而影响车道荷载的传递，于是将其设置为不进行优化的单元。

优化结果为一种拱与桁架相组合的结构，如图5所示。由于设计区域的矢跨比过小，结构中并未形成完整的拱肋，跨中处为一段桁架结构。桥面与拱肋之间以及桥面与桁架下弦杆之间由向跨中倾斜的立柱相连，使得桥面荷载可以以最小路径向两端的支撑位置传递。由于荷载中未考虑横向受力，所以优化结果中横向连接的构件较少，横向传力主要由桥面板承担。根据拓扑优化结果所得的桥梁整体设计方案如图5所示。此外，跨中的桁架部分也可以考虑采用悬带结构替代。

本文尝试将结构拓扑优化作为一种结构造型方法应用到桥梁的找型当中。在根据结构的实际受力情况设置适当的边界条件后，通过结构拓扑优化可以得出该条件下合理的结构形式。由于目前结构拓扑优化法只是从结构的受力角度出发，而未能考虑结构的可制造性、经济性、耐久性等因素，所以优化而来的结果，目前只是一个抽象的结构拓扑形式而不能直接用于结构设计，这也是结构拓扑优化技术在桥梁找型需要研究的重点及难点。桥梁设计者应将拓扑优化的结果与工程经验相结合，兼顾桥梁造型的基本准则，并积极发挥自身的创造性，以最终形成适用、安全、经济、美观的桥梁设计方案。

（作者单位：同济大学桥梁工程系)