最著名的数学家一般也是最著名的力学家

武际可

数学和力学这两个学科，有点像亲姐妹一样。她们结伴成长。在历史发展的长河中，主流数学和力学的发展总是同步的。一方面的突破，意味着在另一方面也有飞跃。
在16世纪之前，力学的主流是静力学，相应的数学是欧氏几何和简单的代数运算。到16世纪，开始了动力学研究，相应的数学发展出变量的数学，即微积分，几何上的发展就是解析几何，特别是相应于行星运行轨道的认识，关于二次曲线的几何学有了充分的发展。17世纪和18世纪，随着分析力学的发展，变分法发展成熟，随着力学系统多自由度的概念的形成，几何方面有流形和黎曼几何的发展。到了19世纪，由于连续介质力学，即弹性力学和流体力学以及传热学的发展，偏微分方程相应地也得到飞速的发展。
数学和力学这两门学科在发展上的结伴而行的特点，不能不体现在这两个学科的代表人物的特点上。我们看出，历史上最著名的数学家，一般也同时是最著名的力学家。

1. 最显赫的六位数学力学家
如果让你在19世纪以前，在世界范围内选六位最著名的数学家。你会选谁。我想多数人会选这样六位：阿基米德、牛顿、莱布尼兹、欧拉、拉格朗日、柯西。
可是你曾想到，这六位同时也是顶尖的力学家。对于他们的生平业绩，由于他们的名气很大，每个人都有专门的传记著作，我们不想重复罗列他们的贡献。而只简要说明他们是数学与力学兼一身的大师。
阿基米德（Archimedes, 287 BC---212BC），力学学科最早的集大成者，后人誉为“力学学科之父”。在力学方面最著名的贡献是：液体的浮力原理、一系列图形的重心计算方法、基于严密论证的杠杆原理、抛物线旋转体在液面上平衡稳定性条件。
在数学上，他给出曲线围成简单图形的体积和重心的计算方法，从而引进了简单的极限概念。
牛顿(Isaac Newton,1642，12，25－1727，3，20)。在力学方面，他是自由质点运动规律的奠基人，也是天体力学的奠基人。后人称他为经典力学的奠基人。他以严格的方式论证了，在与距离的平方成反比例的万有引力作用下，行星的轨迹是 椭圆，并且从理论上导出了基于观察建立的行星运动的开普勒定律。写出了名垂史册的巨著《自然哲学的数学原理》。
在数学上他是微积分的创始人之一。
这两项成果，实际上，乃是16世纪之后飞速发展着的现代科学的基石。
莱布尼兹（Gottfried Wilhelm Leibniz,1646－1716），是与牛顿同时代的人。他在数学上人所周知的贡献是和牛顿同时发明了微积分。而他在力学上的贡献，却不大为人注意。其实，他在力学上的贡献就是影响深远的动能守恒定律的提出。在莱布尼兹之前，人们对于表述质点运动的速度、加速度、和动量，都给予了充分的注意，而莱布尼兹却最早注意到表述质点运动的动能。只要注意随后约翰•伯努利（Johaun Bernoulli，1667-1748）提出和被科里奥利精确化的虚功原理，以后分析力学发展以及力学中一系列作用量的引进，就能够理解这个概念的影响深远了。
莱布尼兹，除了在数学和力学上表现的特殊天才外，他在许多领域中都表现出卓越的才能：法律、宗教、政治、历史、文学、逻辑、哲学。然而，他并不是人们所说的 “样样精通，样样稀松”。而当人们读以上每一方面的历史时，都会遇到他的名字。所以人们说，莱布尼兹是人类历史上最后一位全才。
欧拉（Leonhard Euler,1707－1783），1697年，约翰•伯努利将他提出的最速落径问题推广，提为短程线问题。欧拉作为在约翰•伯努利指导之下的学生，于 21岁时解决了这个问题，并且与拉格朗日一起发明了变分法这个数学工具。欧拉在数学上，是一位全才，他在数学的三个主要分支：分析、几何和代数上都有奠基性的贡献，他在力学上也是一位全才， 他在力学的三个主要分支：流体力学、固体力学和一般力学方面，都有奠基性的贡献。流体力学方面，他给出了理想流体的运动方程。在一般力学方面，他给出了刚体运动的欧拉方程。在固体力学方面他给出了最早的弹性杆的非线性问题的解。
拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736，1，25－1813，4，11)，是分析力学和变分法的奠基人。1788年他经20多年的努力写成的《分析力学》是力学史上划时代的文献。这本书开辟了约束力学系统的历史。至今人们用的拉格朗日坐标和拉格朗日方程，就是这本书的主要成果。此外他在弹性力学、流体力学、天体力学等方面也有重要的贡献。
可以明白地看出拉格朗日在数学上的贡献，如变分法、偏微分方程、数学分析中的一些基本定理等，主要是围绕着他对彻底解决他对分析力学的追求展开的。不过在代数方程的近似求解、函数的插值等方面，他仍然有许多重要工作。
柯西(Cauchy,Augustin-Louis,1789,821—1857,523)，在力学上他是弹性力学的奠基人。在数学上，他又是现代数学分析严格化的奠基人。
我们今天在弹性力学中一开始引进的应变和应力的概念、平衡方程的概念，广义胡克定律的概念，都是柯西于19世纪20到30年代引进的。柯西在数学上，对偏微分方程理论和复变函数理论的建立，给出过奠基性的工作，至今人们说的柯西初值问题，柯西-黎曼条件，都是这方面的基本结果。
我们从以上介绍的六位学者来看，的确说不出他们的贡献到底是以数学为主还是以力学为主。我们只能说，他们都是数学力学家，而不能简单地把他们称为数学家或力学家。
从这里我们至少可以悟出一点道理，在19世纪之前，力学和数学是不分家的。不过，这话也不能说绝对了，这对于以上所举的第一流的学者当然是对的，不过对于他们之外的学者，就不能一概而论了。例如伽利略和惠更斯，就主要偏重于力学，达朗贝尔、拉普拉斯、哈密尔顿、高斯就是数学与力学兼长的学者，而像黎曼、维尔斯特拉斯、伽罗华等数学家，就主要成果偏重在纯数学方面。总起来说，大部分有名的数学家都是力学家，至少他们对力学是很熟悉的。

2. 20世纪的著名数学家和力学
进入20世纪，人类的知识分得愈来愈细，不仅像莱布尼兹那样的知识全才很少见了，即便是在数学和力学领域中像欧拉那样跨越数学和力学所有主要分支都作出重要贡献的学者也是少见的了。美国学者维纳（Norbert Wiener，1894-1964）在他1948年出版的《控制论》书中说：“从莱布尼兹以后，似乎再没有一个人能够充分地掌握当代的全部知识活动了。从那时起，科学日益成为专门家愈来愈狭窄领域内进行着的事业。在上一世纪，也许没有莱布尼兹这样的人，但还有一个高斯、一个法拉地、一个达尔文。今天没有几个学者不加任何限制而自称为数学家，或者物理学家，或者生物学家。一个人可以是一个拓扑学家，或者一个声学家，或者一个甲虫学家。他满嘴是他那个领域的行话，知道那个领域的全部文献、那个领域的全部分支，但是，他往往会把邻近的科学问题看作与己无关的事情，而且认为如果自己对这种问题发生任何兴趣，那是不能允许的侵犯人家地盘的行为。”[1]
既然在20世纪，一位数学家连主要的数学分支都很难跨越，是否在20世纪杰出的数学家和力学学科就此绝缘了呢。恐怕不能这样说，由于数学和力学，从学科上的密切的血缘关系。最著名的数学家，对力学还是作出了杰出的贡献的。我们仅举20世纪最著名的三位顶级的数学家：庞加莱、希尔伯特和柯尔莫哥洛夫为例，来说明这种密切关系。
法国数学家庞加莱（Jules Henri Poincaré,1854－1912），在数学史上他是涉猎数学各个分支，包括纯粹数学和应用数学的最后一个人，所以他被誉为数学上的最后一位通才。
庞加莱一生用了比较多的精力从事天体力学的研究，他研究被抽象为n个质点相互在万有引力作用下的运动问题，一般被称为n体问题。当n=2时已由牛顿解决，当n等于大于3时，问题就变得极为困难。庞加莱的三卷名著《天体力学的新方法》（1892、1893、1899）集中收集了他在这一问题上的研究成果。由于解决这一问题时，书中包含了他的一系列新的数学成果，如极限环理论、微分方程定性理论、由此引发的关于拓扑学的研究与成果、动力系统改变量方程的方法等等。他的成果，标志着动力系统从定量研究向定性研究的新的历史时期。可以说，这些成果，既是属于数学的成果也是属于力学的成果。
德国数学家希尔伯特（Divid Hilbert, 1862－1943），他在数学中涉猎也比较广，他从事过代数不变量问题、代数数论、几何基础、数学的证明论等领域的研究。他在1900年巴黎世界数学家大会上关于数学23个问题的报告，几乎影响了整个20世纪数学研究。然而希尔伯特，虽然主要的兴趣大多集中于纯粹数学领域。不过，他对力学和物理问题的兴趣，仍然是浓厚的。特别值得提出的是，他对于变分问题和积分方程的研究，导致数理问题谱理论的建立，这项成果就是后来所谓希尔伯特空间理论。希尔伯特空间理论的重要性，是把欧氏几何的原则推广到函数空间，从而为连续介质力学问题的求解和定性讨论奠定了理论基础。希尔伯特在物理方面的另一项重要研究是物理问题的公理化方法，这一问题在他的23个问题中提为第六个问题，经过接近一个世纪的努力，目前在量子力学、热力学等领域中，公理化方法已取得很大的成功。而他自己在广义相对论的公理化上也做过很重要的工作。
俄罗斯数学家柯尔莫哥洛夫（А.Н.Колмогоров,1903－1987），他对数学和实际问题以及数学教育都有浓厚的兴趣。他在三角级数、遗传学、概率论、随机过程、湍流、动力系统、信息论、数理逻辑、计算复杂性、泛函分析、金属学等等方面都有重要成果。20世纪30年代，他是概率论公理化体系的奠基者，随后在概率论和随机过程的理论与应用方面均取得了奠基性的成果。
在与力学有关的研究方面，最重要的成果是，1941年得到了湍流中能量的衰减规律与脉动频率的依从关系的规律，这个规律被称为柯尔莫哥洛夫律。
在 20世纪50年代中期，他集中研究经典力学中太阳系能否永恒发展而不会引起灾变的问题？简单行星系是否只有三体系统才能稳定地运动？这个问题归结于研究近似可积系统的运动体系。庞加莱称它为哈密顿系统在微扰下的发展问题。它是动力学基本问题，可溯源到牛顿、拉普拉斯的研究。柯尔莫哥洛夫在50年代中期对具大量初始条件的情形解决了这个问题，开创了哈密顿系统的微扰理论。从他的定理可推出：围绕木星作圆轨道运动的卫星，在经受沿椭圆轨道的木星运动的干扰下，并不能影响木星的椭圆轨道。他的理论还可用到大量力学、物理学问题中，解决了不对称刚体绕固定点高速旋转的稳定性、托卡马克(Токамак)型系统中磁面的稳定性等问题。他的思想后来被A．И．阿诺尔德与J．莫泽所发展，成为以他们三人命名的KAM理论。此外他还将信息论应用于动力系统的遍历性质，得到了若干重要结果。
从以上我们简单介绍的三位数学家的经历可以看出，即使在20世纪，第一流的数学家的研究成果，也是与力学密切相关的，或者是具有很强的力学背景的课题。

3. 力学学科的基础性
在另一篇文章《几位大物理学家的力学贡献》中，我们介绍了七位第一流的近代物理学家的力学贡献，说明传统对于真正的科学进步是必不可少的。近代物理学和科学的革命性的变化，不是凭空产生的，它是在继承传统经典力学的基础上发展起来的。他们所以能够有深厚的力学基础和卓越的业绩。和他们对力学学科的重要性的认识有关。也说明这些物理学家从方法论的高度来了解力学的作用。正是基于对力学重要性的深刻认识，推动他们在行动上去牢固打好力学基础并且做出卓越贡献。
我们在本文中又介绍了著名数学家的工作和力学的紧密联系。至于力学和和各门工程技术的密切关系，则更是不言而喻的。
归根结蒂，力学与物理和数学都是密不可分的。也可以说力学在各门基础学科中是更为基础的学科。一个国家和一个民族，要想在近代科学技术上达到相当的高度，没有扎实的力学教育、没有一定高水平的力学研究是不可能的。