梁跨中下挠引起的端部水平位移有多大？

不考虑梁本身的伸长、弯曲等自身变形，单纯考虑水平放置的梁跨中发生挠度的情况下，水平伸缩量Δ的大小。这其实是一个纯数学与几何的推导，已经和物理无关了（PS. 题目说梁其实不对），其实说的是一根不可伸缩的直线，跨中发生挠度，变为两根直线后，水平伸缩量是多大。其中

不考虑梁本身的伸长、弯曲等自身变形，单纯考虑水平放置的梁跨中发生挠度的情况下，水平伸缩量Δ的大小。这其实是一个纯数学与几何的推导，已经和物理无关了（PS. 题目说梁其实不对），其实说的是一根不可伸缩的直线，跨中发生挠度，变为两根直线后，水平伸缩量是多大。

其中 $L$ 为直线的总长度， $\Delta$ 为水平伸缩量的大小， $X$ 为直线发生倾斜变形后，水平投影长度的一半。

由总长不变，可得水平伸缩量

$\Delta = L - 2X$

同时 $L$ 、 $\Delta$ 及 $X$ 之间满足以下三角函数关系

$2X = 2\sqrt {{{\left( {\frac{L}{2}} \right)}^2} - {\omega ^2}}$

将上式代入第一个公式，可得

$\begin{array}{l}\Delta = L - 2X\\= L - 2\sqrt {{{\left( {\frac{L}{2}} \right)}^2} - {\omega ^2}} \\= L - 2\sqrt {{{\left( {\frac{L}{2}} \right)}^2}\left( {1 - {\omega ^2}{{\left( {\frac{2}{L}} \right)}^2}} \right)} \\= L - L\sqrt {\left( {1 - {{\left( {\frac{{2\omega }}{L}} \right)}^2}} \right)}\end{array}\$

根据泰勒公式，可对函数 $\sqrt {1 - x}$ 在 $x{\rm{ = }}0$ 处进行展开(即获得麦克劳林公式)，并取前两项，当 $x$ 为微小量时，有

$\sqrt {1 - x} \approx 1 - \frac{1}{2}x$

于是可得，当 $\frac{\omega }{L}$ 是微小量时有

$\sqrt {\left( {1 - {{\left( {\frac{{2\omega }}{L}} \right)}^2}} \right)} \approx 1 - \frac{1}{2}{\left( {\frac{{2\omega }}{L}} \right)^2}$

则水平伸缩量变为

$\begin{array}{l}\Delta = L - L\sqrt {\left( {1 - {{\left( {\frac{{2\omega }}{L}} \right)}^2}} \right)} \\\approx L - L\left( {1 - \frac{1}{2}{{\left( {\frac{{2\omega }}{L}} \right)}^2}} \right)\\\approx 2\frac{{{\omega ^2}}}{{{L^2}}}\end{array}$

可见，水平缩短量 $\Delta$ 约为 $\frac{{{\omega ^2}}}{{{L^2}}}\$ 的两倍，当 $\omega$ 为微小量时，水平缩短量 $\Delta$ 是比 $\omega$ 更高阶的微小量。

虽然上面分析的不是一根实际的梁，但从上面的推导也可以发现，对于一些常规的几何非线性可忽略的梁，梁跨中下挠引起的端部水平位移其实是非常小的，大致为这个 $2\frac{{{\omega ^2}}}{{{L^2}}}$ 量级。当然，如果计算精确的梁的水平位移，需要建立微分方程的方法来推导，或者开个大变形用FEM计算。