摘要： 型钢混凝土柱是一种抗震性能优越的组合构件，经常被用于高层或超高层建筑中。近年来为了满足建筑物美观及室内装饰装修的要求，国内外学者针对型钢混凝土异形柱开展了相关研究，其中最常见的异形柱截面类型为十字形、L形和T形。以收集的型钢混凝土异形柱抗震性能试验为基础，对型钢混凝土异形柱的截面曲率进行分析，通过弯矩-曲率曲线研究曲率与构件变形性能的关系，确定异形柱屈服曲率和极限曲率的计算方法，利用截面屈服曲率和极限曲率得出位移延性系数。通过参数分析，研究构件的截面曲率变化情况，并通过参数拟合，提出适用于3种截面类型的型钢混凝土异形柱屈服曲率和极限曲率的简便计算公式，该公式可为实腹式型钢混凝土异形柱的变形计算以及抗震设计提供参考。

关键词： 实腹式型钢混凝土异形柱；弯矩-曲率关系；延性；抗震性能；计算公式

Abstract： Solid steel reinforced concrete column which has an excellent seismic performance has been extensively used in high-rise buildings. Over the years，solid steel reinforced concrete special-shaped columns have been noticed by domestic and foreign scholars for the aesthetic appearance of buildings and interior decoration. Cross-shaped columns，L-shaped columns and T-shaped columns are considered as the most common types of column section. In this paper，based on a seismic test of solid steel reinforced concrete special-shaped columns，the sectional curvatures of solid steel reinforced concrete special-shaped columns are analyzed，the correlation between cross sectional curvatures and deformation of component are established. The calculation method of yield curvature and ultimate curvature of special-shaped columns is determined，and the displacement ductility coefficient is obtained by cross sectional yield curvatures and ultimate curvatures. Finally，a simple equation applicable for the yield curvature and the ultimate curvature of solid steel reinforced concrete special-shaped columns of three types of sections is derived by fitting parameters. This formula can be used as a reference for deformation calculation and seismic design of solid steel reinforced concrete special-shaped columns.

Keywords： solid steel reinforced concrete special-shaped column；bending moment-curvature relationship；ductility；seismic performance；calculation formula

型钢混凝土柱是一种抗震性能优越的组合结构构件，混凝土与型钢的结合可以充分发挥混凝土抗压及型钢变形的优势，从而大幅度提高结构的承载能力和变形性能。在基于承载力的抗震设计方法中 ^[1-2] ，刚度被认定为截面的基本属性之一，仅与截面的设计参数有关，通常可由截面弯矩与曲率的比值确定。但通过对于梁、柱以及剪力墙的研究发现，当截面强度随轴压比和配筋率变化时，截面屈服曲率和极限曲率随着强度近似成比例变化 ^[3] 。如果不能准确地估算出构件实际的有效曲率，在设计中就可能出现内力偏差，不能保证构件抗震性能的充分发挥 ^[4-6] 。

截面的弯矩-曲率特征与构件的强度、转动能力、滞回性能和稳定性均有关系 ^[7-8] 。型钢混凝土异形柱的变形性能受混凝土和钢的非线性本构关系限制，此类构件的截面曲率与所选用的材料性能密切相关。其中混凝土本构关系是高度非线性且不对称的，其抗压强度远大于抗拉强度。当混凝土达到抗拉强度，则其横截面会出现裂缝，拉应力全部由型钢和钢筋提供。反观钢材在没有屈服前被假定为拉压对称，但是达到屈服后，其性能也将发生变化。所以型钢混凝土异形柱的截面曲率分析较为复杂 ^[9] 。

近年来，国内外学者针对构件的曲率分析方法也在不断地创新和优化。在材料分析方面，PAM等 ^[10] 致力于考虑钢的塑性应变对钢筋混凝土结构延性行为及曲率关系的影响。RIVA等 ^[11] 讨论了钢筋混凝土截面在弯矩和轴力耦合作用下的非线性行为，考虑了受压混凝土的简化应力-应变关系，将总塑性策略应用于钢筋混凝土结构的非线性分析当中，发展出了符合实际材料定律的弯矩-曲率本构关系。另外随着有限元思想的不断成熟和深入，BATHE等 ^[12] 通过建立三维模型对钢筋混凝土结构进行非线性分析，并采用拉筋模型分析了构件的弯矩-曲率关系。HE等 ^[13] 考虑了钢筋混凝土的非弹性行为，并通过麦克斯韦模型以弯矩-曲率关系的微分形式对构件的弯曲行为进行了详细的讨论。

在曲率的计算方法方面，目前国内外学者研究较多的是关于钢筋混凝土柱和剪力墙的计算。其中PRIESTLEY、赵花静等 ^[14-17] 对构件的弯矩-曲率关系进行了分析，在截面上分析受力和变形特征，利用大量数据进行回归分析，建立了屈服曲率和极限曲率的经验计算公式；而钱稼茹等 ^[18] 则是通过剪力墙试验，对试验数据进行总结分析，依照平截面假定建立构件屈服曲率和极限曲率的计算公式 ^[19] 。以上两种计算方法都是在理论层面，通过具体的试验现象来确定构件的屈服曲率和极限曲率，且目前的计算公式只针对于钢筋混凝土构件。

型钢混凝土异形柱具有较大的配钢率，其截面几何特征与传统柱有较大差异，因此本文利用XTRACT软件对十字形、L形、T形型钢混凝土异形柱进行截面曲率分析，使其沿肢部方向受压，通过计算得到相应构件的截面弯矩-曲率关系（M-φ），并引入屈服曲率系数k _y 、极限曲率系数k _u 和曲率延性μ，将轴压比、配钢率、配筋率、混凝土强度等因素考虑在内，分析各因素对构件曲率变化的影响。最终通过大量数据回归拟合，提出适用于3种截面类型的型钢混凝土异形柱屈服曲率和极限曲率的简便计算公式。该公式可为实腹式型钢混凝土异形柱的变形计算以及抗震设计提供参考。

1　截面曲率计算模型

1.1　基本假定及方程

为计算截面的曲率，本文以L形截面为例进行截面曲率的理论推导。如图1所示，在截面图中建立整体和局部两套坐标系 ^[20] 。整体坐标系的坐标原点位于整个截面左下角，将整体坐标系原点到L形截面中和轴的线段距离定义为R，且将该线段与整体坐标系x轴的夹角定义为中和轴角θ。局部坐标系的坐标原点位于L形截面几何形心处，将局部坐标系原点与荷载作用点连线，该线段与局部坐标系x轴的夹角定义为荷载角α。L形截面柱肢部受压（右侧）的过程中，截面中和轴角θ也随之不断发生变化，具体计算步骤如下：

（3）将计算得到的N与输入值进行对比，观察是否满足要求，如不满足要求则进行相应调整重新计算，满足要求后求出N作用下截面曲率为φ时的弯矩M。

（4）在柱截面受压的过程中，同时判断相应的屈服条件和极限条件，若截面达到相应的屈服和极限条件则记录此时的曲率信息。  

图1　L形截面曲率计算示意图

Fig.1　Schematic diagram of L-shaped section curvature calculation

1.2　屈服曲率的确定

本文主要从截面角度出发分析3种异形柱的曲率变化情况，采用PRIESTLEY等 ^[14] 提出的有效屈服曲率分析方法，可以较为准确地定义有效屈服点，如图2所示，先作一条通过弯矩-曲率曲线顶点的切线，然后将坐标原点与初始屈服点相连，并正向延长使之与该切线相交，则定义该点为构件的有效屈服点，其对应的曲率则被定义为有效屈服曲率。这种方法可将弯矩-曲率曲线转化为双折线，操作简便又能准确体现构件的有效屈服曲率。计算方法如式（6）所示：

图2　屈服曲率定义

Fig.2　Definition of yield curvature

图3为截面屈服曲率、受压区高度以及应变三者之间的关系。如图3a）所示，当轴压较小时，构件变形较大，受拉钢筋一般较早屈服。因此，选用受拉钢筋屈服应变ε _y 作为控制因素，此时φ _ys 为构件的屈服曲率。当轴压较大时，特别是当肢部受压，受压区高度较大，受压区边缘混凝土一般较早被压碎，故以边缘混凝土峰值应变ε _c 作为控制因素，此时φ _yc 为构件的屈服曲率，如图3b）所示。本文中所有构件的受压方向均沿肢部方向，受压区高度较大，边缘混凝土承受较大压强，容易率先达到峰值应变，因此更适合采用第2种方法确定构件的屈服曲率。  

图3　屈服曲率、受压区高度与屈服应变之间的关系

Fig.3　Relationships between yield curvature，depth of compressive zone and yield strain

1.3　极限曲率的确定

针对肢部受压构件，其极限曲率的确定方法通常有3种。一是受拉区纵向受力钢筋达到极限强度，构件整体变形较大，构件发生弯曲破坏，此时对应的曲率为极限曲率。二是受压区核心混凝土达到极限压应变，对于型钢柱而言，其受压区有箍筋和型钢翼缘加以约束，使得混凝土的工作性能得到很大提升，构件在轴向荷载作用下具有更高的延性，如果此时约束混凝土仍然能达到极限压应变，则判定构件达到破坏状态，此时对应的曲率为极限曲率。三是临界截面的抗弯能力下降到最大弯矩值的85%。本文采用这3种方法得到的极限曲率较小值作为判定构件是否达到极限曲率的依据。

1.4　计算方法和步骤

本文利用XTRACT软件对十字形、L形、T形三种截面进行弯矩曲率分析。该软件可将截面划分成多个细小的纤维单元，分别赋予不同的材料参数，通过平截面假定求出各时刻单元应变，然后将各材料的本构关系代入其中，最终将单元应变转化为单元应力，经过迭代计算截面的屈服曲率与极限曲率。

2　模型的验证

本文选取文献[22-23]中试件十1、L1、T1作为基本模型，将表1中的模型参数输入XTRACT软件中进行计算，得到构件的弯矩-曲率曲线，如图4a）~c）所示。模型中约束混凝土采用MANDER等[24]提出的混凝土本构关系，其可以较好地反映箍筋对受压构件截面核心区混凝土的约束作用。钢筋采用双折线模型，初始弹性模量取为205,000MPa，强化段弹性模量取为初始弹性模量的1% ^[25] 。根据《混凝土结构设计规范》（GB 50010—2010） ^[26] 中对于约束混凝土的计算方法，一般认为当箍筋发生断裂时，约束混凝土达到极限压应变。

为了验证本文模型的正确性，将计算得到的弯矩-曲率曲线通过塑性铰转化公式转化为骨架曲线 ^[27] ，由于型钢柱受剪程度较低，因此柱顶点位移仅需考虑截面弯曲变形和锚固滑移变形，即Δ=Δ _f +Δ _s ，其中Δ _f 为弯曲位移，Δ _s 为锚固滑移变形，其简化计算公式如式（7）、式（8）所示。将计算骨架曲线与文献[22-23]试验骨架曲线进行对比，如图4d）~f）所示。

由图4可知计算结果与试验结果吻合良好，计算骨架曲线与试验骨架曲线基本重合，承载力和抗侧刚度与实际情况基本一致，能较好地反映构件的承载能力和变形能力。当加载位移达到柱高的1/50时，十字形、L形、T形柱的承载力计算结果与试验结果的误差分别为2.7%、7.8%和3.5%，计算误差较小，基本可以反映骨架曲线的趋势，验证了模型的有效性。借助模型对3种截面的弯矩、曲率进行变参分析，分别从轴压比、配钢率、配筋率、混凝土强度四个方面分析其对构件截面曲率的影响。  

图4　模型弯矩-曲率曲线与骨架曲线

Fig.4　Bending moment-curvature curves and skeleton curves of models

3　参数分析

3.1　截面形式及材料属性

本文在上述模型的基础上进行变参分析。模型信息如下：剪跨比为2.5，肢厚为120mm，混凝土保护层厚度为20mm或15mm，每种截面设置7种配钢形式（表2）和8种配筋形式（表3）。下文模型编号例如十1-2-0.1， 其第1个符号表示截面类型为十字形，第1个数字1表示十字形截面编号十1对应的配钢率，第2个数字2表示截面编号-2对应的配筋率，第3个数字0.1表示轴压比为0.1。加载方向全部沿平行于肢部方向（向右），如图5所示。

采用C30、C35、C40、C45、C50五种强度等级的混凝土，利用Mander本构模型 ^[24] 计算得到混凝土立方体抗压强度以及极限应变。钢材全部采用Q235钢，箍筋采用Φ6@60沿柱身全长加密。材料属性参见《钢结构设计标准》（GB 50017—2017） ^[28] 。

图5　模型三视图（单位：mm）

Tab.5 Three-view diagrams of models（Unit：mm）

3.2　弯矩曲率分析

型钢混凝土柱轴压比可由式（9）计算：

3.2.1  轴压比变化对构件弯矩曲率的影响

图6为3种截面柱的弯矩-曲率曲线。如图所示，十字形、L形、T形截面的弯矩-曲率曲线呈先上升后下降的趋势。在上升段，随着轴压比的增加，曲线斜率增大，证明在相同的曲率条件下，轴压比越大，构件能承受的弯矩越大，抗侧能力更强。在下降段，随着轴压比的增加，弯矩下降的速率越快，证明构件达到极限曲率后随着轴压比的增大其弯矩承载能力越弱。整体来看，不同轴压比下十字形柱弯矩-曲率曲线上升段和下降段重合度较高，在达到极限曲率后，随着轴压比的升高其弯矩承载能力下降较缓。但对于L形和T形截面柱而言，其屈服曲率随着轴压比的增加逐渐减小，导致曲线下降段相差较大，但下降的速率基本一致。由此可以看出，十字形柱的稳定性要优于L形柱和T形柱的稳定性。为更直观地对比分析其他因素对构件曲率的影响，将上文屈服曲率系数和极限曲率系数作为纵坐标，以轴压比为横坐标进行对比分析。  

图6　不同轴压比下模型弯矩-曲率曲线

Fig.6　Bending moment-curvature curves of models with different axial compression ratio

3.2.2  不同配钢率对构件曲率的影响

由图7a）可知，屈服曲率系数随轴压比的增加呈下降趋势，证明屈服曲率受混凝土应变控制。通过纵向对比分析，发现3种截面柱随着配钢率的增加，其屈服曲率系数的下降幅度均有不同程度的减小。说明配钢率的增加提高了截面整体的刚度和构件的抗侧能力。

图7　不同配钢率对构件曲率的影响

Fig.7　Influence of different steel ratios on curvature of components

由图7b）可知，随着配钢率的增加，相同截面类型的构件的曲线基本重合，证明配钢率对构件极限曲率的影响并不明显。十字形截面柱的极限曲率系数明显高于L形和T形截面柱的极限曲率系数，拥有较好的变形能力，且极限曲率系数呈先上升后下降的趋势，这是由于十字形截面柱呈对称分布，受压肢部较短，导致受压区高度较小，在轴压比较小的情况下，其极限曲率由受拉钢筋应变控制，但随着轴压比的增大，其所受轴力增强，此时极限曲率由核心区混凝土应变控制。  

3.2.3  不同配筋率对构件的影响

由图8a）可知，随着截面配筋率的增加，构件屈服曲率系数均有所提升，这是由于纵向受力钢筋处于截面外侧，随着截面弯矩的增加其拉应力可以抵抗截面的变形，延缓边缘混凝土受压失效。因此在截面设计时可以通过适当增加配筋率来提高构件的抗侧性能。由图8b）可知，增加截面配筋率后，3种截面的极限曲率没有明显变化，曲线重合度较高，证明配筋率对构件极限曲率的影响并不显著。  

图8　不同配筋率对构件曲率的影响

Fig.8　Influence of different reinforcement ratios on curvature of components

3.2.4  不同混凝土强度对构件的影响

由图9a）可知，随着混凝土强度的提高，屈服曲率系数逐渐降低。在轴压比较小的情况下，相同截面不同混凝土强度构件的屈服曲率系数基本重合，但随着轴压比的增加曲线逐渐分散。这是因为随着混凝土强度的提高，在相同轴压比条件下，其承担的压力增加，使受压区高度增大，所以屈服曲率随混凝土强度的增加而减小。  

图9　不同混凝土强度对构件曲率的影响

Fig.9　Influence of different concrete strengths on curvature of components

由图9b）可知，十字形截面中C50混凝土截面在轴压比为0.45时其极限曲率系数发生骤变，这是由于高强度混凝土随着强度的增加，其延性性能有所降低，容易发生脆性破坏。

3.3　影响因素相关性分析及简化公式计算

本文将上述因素的设计参数输入到SPSS软件中，将各影响因素与屈服曲率系数k _y 或极限曲率系数k _u 进行两两相关性分析，采用Pearson相关性系数，双尾显著性检验。分析结果表明各影响因素与相关曲率系数的置信度（双侧）均小于0.05，证明各影响因素与曲率系数均具有显著相关性，将各因素相关性系数求和后按比例进行分配，如图10、图11所示。十字形截面中各因素影响程度相对平衡。L形和T形截面中轴压比与构件屈服曲率和极限曲率的相关性较大，与配钢率的相关性较小，与上文3.2.2节分析一致。混凝土强度与曲率系数的相关性均约占10%左右。综合图10、图11进行分析可知轴压比是影响构件屈服曲率和极限曲率的主要因素。  

图10　3种截面各参数对屈服曲率的影响

Fig.10　Influence of the parameters of three cross-sections on yield curvature  

图11　3种截面各参数对极限曲率的影响

Fig.11　Influence of the parameters of three cross-sections on ultimate curvature

结合以上影响因素相关性分析，本文采用“数值分析法”按照异形柱的肢数进行区分，将各个因素综合考虑，建立8,400个工况计算模型，将所有数据整合后进行多因素线性拟合，得出简化后的屈服曲率系数k _y 以及极限曲率系数k _u 的计算公式，如式（12）~（15）所示，公式的相关系数R ² 都在0.9左右。

4　延性计算

为验证计算公式的准确性，采用曲率延性系数μ来反映构件的变形能力，其含义为极限曲率和屈服曲率的差值与屈服曲率之比，计算公式如下：

构件延性计算流程如图12所示。  

图12　构件延性计算流程

Fig.12　Calculation process of component ductility 

将公式计算结果与文献[22-23]试验结果进行对比，如表4所示，误差均保持在±5%以内。因此依照本文的公式可以较好地计算出构件的屈服曲率和极限曲率，可以为工程设计提供参考。

5　结  论

本文对型钢混凝土异形柱的截面曲率进行了分析，可知构件的弯矩-曲率关系与其抗震性能有着密切的关系，并通过在型钢混凝土异形柱构件设计中引入曲率分析，更加全面准确地反映了构件的截面特性。可以得出以下主要结论：

（1）十字形、L形、T形截面的弯矩-曲率曲线变化趋势都是先上升后下降。整体来看，不同轴压比下十字形柱上升段和下降段曲线重合度较高，证明十字形柱的稳定性要优于L形柱和T形柱的稳定性。

（2）当加载方向平行于肢部时，受压区高度较大，屈服曲率由未约束混凝土应变控制。其中轴压比、配钢率以及混凝土强度与构件的屈服曲率和极限曲率呈负相关；配筋率与构件的屈服曲率和极限曲率呈正相关；轴压比是影响构件曲率的主要因素。

（3）通过大量模型数据的拟合回归分析，提出了考虑配钢率、配筋率、轴压比、混凝土强度等因素影响的型钢混凝土异形柱屈服曲率和极限曲率计算公式。

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