摘要： 将快速非支配排序遗传算法和粗粒度-主从式并行遗传算法相结合，提出一种多目标并行遗传算法。该算法在同步优化消能减震结构上阻尼器的布置数量和布置位置时，既能多目标优化，又能并行运算，提高计算效率。采用该算法，以最大层间位移角和最大楼层加速度为多目标函数，优化一个14层钢框架结构上阻尼器的布置数量和布置位置。优化结果表明：该算法是逐渐收敛，具备较强收敛性；该算法优化结果适用于不同地震波，层间位移角减震系数最小为20.66%，加速度减震系数最小为18.35%；对于消能减震结构，综合考虑最大层间位移角和最大楼层加速度的影响时，建议阻尼器主要布置在结构中下部，且中部布置得要较多。

关键词： 快速非支配排序遗传算法；并行遗传算法；消能减震结构；同步优化布置数量和位置；阻尼器

Abstract： In this paper，a multi-objective parallel genetic algorithm is proposed by combining nondominated sorting genetic algorithm-Ⅱ and coarse-grained master-slave parallel genetic algorithms. When the algorithm is designed to optimize the number and position of dampers on an energy dissipation structure at the same time，it can be optimized by multi-objectives，and can be operated in parallel to improve the calculation efficiency. A 14-story steel frame structure is selected as the research object，and the optimal design of damper arrangement is conducted by taking maximal inter-story drift ratio and maximal floor acceleration as the control objective. The results show the algorithm gradually converges and has a strong convergence. The optimized results of this algorithm are applicable to different seismic waves，the minimum damping coefficient of inter-story drift ratio and acceleration are 20.66% and 18.35% respectively. For the energy dissipation structures，the optimal locations of dampers are at the middle and lower floor and more in the middle floor when the maximal inter-story drift ratio and maximal floor acceleration are considered.

Keywords： nondominated sorting genetic algorithm-Ⅱ；parallel genetic algorithm；energy dissipation structure；simultaneous optimization of the number and position；damper

遗传算法能根据约束条件在给定的搜索域内对问题进行优化求解 ^[1] 。传统遗传算法以单一的目标函数对消能减震结构上耗能元件的布置位置进行优化。MOVAFFAGHI等 ^[2] 以结构的加速度响应为目标函数，采用遗传算法对结构上阻尼器的布置位置进行优化，结果表明：将阻尼器按照优化得到的最佳位置进行布置时，成本可以降低59%。

采用遗传算法求解多目标问题时，传统做法是将多目标问题通过某种关系转化为单目标问题，再用单目标求解方式进行优化。燕乐纬等 ^[3] 将最大层间位移角、楼层最大位移和顶层最大加速度按照占比大小组合为一个目标函数，再采用遗传算法对高层结构的黏滞阻尼器进行优化布置。

快速非支配排序遗传算法能以多个约束条件为目标函数，优化结构上耗能元件的布置。刘纲等 ^[4] 采用快速非支配排序遗传算法，以最大层间位移角和最大加速度为目标函数，对单跨结构上阻尼器的布置进行优化，结果表明：该算法的优化结果可降低层间位移角和加速度的响应。

传统遗传算法和快速非支配排序遗传算法存在以下两点缺陷：（1）算法种群单一，无法保障种群的多样性，容易陷入局部收敛；（2）算法的计算时间随着优化问题复杂性的提高而大幅增加，无法充分利用计算机的并行性，计算效率低 ^[5] 。

并行遗传算法能够有效结合计算机的快速并行性和传统遗传算法的天然并行性，从而解决传统遗传算法计算效率低以及种群多样性缺失的问题 ^[6-7] 。马宏伟等 ^[8] 采用粗粒度并行遗传算法对钢框架结构上的自复位阻尼器进行优化布置，结果表明：该算法能保障种群的多样性，具备收敛性，且能大幅度提高算法的运行效率和结构减震效果。

将快速非支配排序遗传算法与并行遗传算法相结合后，既可对问题进行多目标优化，又能并行运算，提高了计算效率且保障了种群的多样性。但至今未见有学者将二者相结合并应用于消能减震结构领域中阻尼器的优化布置。

采用遗传算法对阻尼器进行优化布置时，主要有以下两种方法：（1）固定阻尼器数量，对阻尼器的布置位置进行优化 ^[9-10] ；（2）算法不变，手动变更阻尼器数量，再执行数量固定情况下布置位置的优化 ^[11-12] 。到目前为止，对该算法进行完善，同时优化阻尼器的布置数量和布置位置的相关研究较少。

为实现同时优化阻尼器的布置数量和布置位置，且能够多目标优化求解问题和提高算法运行速度，本文结合快速非支配排序遗传算法和并行遗传算法，提出一种多目标并行遗传算法，并以最大层间位移角和最大楼层加速度为多目标函数，对一个14层消能减震结构上的阻尼器布置数量和布置位置进行优化。

1　多目标并行遗传算法组成

多目标并行遗传算法的基本组成为：快速非支配排序遗传算法和并行遗传算法，其中并行遗传算法采用的是粗粒度-主从式并行遗传算法。

1.1　快速非支配排序遗传算法

快速非支配排序遗传算法是基于Pareto最优解原理的一种多目标优化算法。该算法先将种群个体执行快速非支配排序操作，划分种群个体等级数；接着进行拥挤度计算；最后才执行选择、交叉及变异等传统遗传算法操作 ^[13] 。

1.1.1　Pareto最优解

Pareto最优解基于Pareto支配原则而建立。存在以下两种Pareto支配关系：（1）互不支配关系，假设算法有m个目标函数，对于种群个体i和j，若不存在个体i的m个目标函数值都比j小或者j的m个目标函数值都比i小，则称i和j是互不支配关系；（2）支配关系，若个体i的m个目标函数值都比j小，则称i支配j，j被i支配。

对于种群个体i，若不存在个体j，且j与i的关系为j支配i，则称i为Pareto非支配解，找出种群全部的非支配解，构成的集合即为Pareto最优解。

1.1.2　快速非支配排序操作

快速非支配排序是根据Pareto支配关系对种群个体进行排序，划分种群个体等级。原理如下：先对每个个体i都赋予两个集合：i支配其他个体的集合S（i）和i被其他个体支配的数量集合N（i）；接着对种群执行Pareto支配，若i支配j，则将j加入集合S（i），若i被j支配，则N（i）值加1；依次对比每个个体，得到所有个体的S（i）和N（i）值；之后将N（i）值为0的这些个体归于第1非支配层H ₁ ，赋予等级数为1；然后对于集合H ₁ 中的个体k，展开个体k的集合S（k），将S（k）集合里的所有个体t的N（t）值都减去1，将N（t）值为0的个体归于第2非支配层H ₂ ，赋予等级数为2；最后循环上述操作，直至所有个体都被归入非支配层H _r 中，且被赋予等级数r。

快速非支配排序的具体操作流程如图1所示。

图1　快速非支配排序实现流程

Fig.1　Implementation flowchart of fast non-dominated sorting

1.1.3　个体拥挤度计算

对种群执行快速非支配排序操作后，所有个体都被赋予等级数，对于同一等级数的个体，需要进行对比，引入另外的变量。在快速非支配排序遗传算法中，称该变量为拥挤度。

对于同一等级数的个体，个体i的拥挤度计算方法如下：先分别根据每个目标函数值进行排序；接着分别计算个体i与相邻两个个体的距离；最后将这些距离值进行累加得到的结果即为个体i的拥挤度值。具体实现流程如图2所示。

图2　拥挤度计算实现流程

Fig.2　Implementation flowchart of congestion calculation

1.1.4　快速非支配排序遗传算法实现

快速非支配排序遗传算法多目标优化消能减震结构上阻尼器的布置位置的流程如图3所示。

图3　快速非支配排序遗传算法实现流程

Fig.3　Implementation flowchart of fast non-dominated sorting genetic algorithm-Ⅱ

1.2　粗粒度-主从式并行遗传算法

粗粒度-主从式并行遗传算法将种群划分为多个子种群，每个子种群可独立执行传统遗传算法；当达到迁移周期时，子种群之间执行迁移操作；各个子种群完成迁移后，再次独立执行传统遗传算法操作。

评价并行算法的性能指标主要有两个：加速比和并行效率。加速比为串行算法和并行算法所用时间之比，其计算如式（1）所示；并行效率表示并行算法对计算机处理器的利用率，与加速比相关，其计算如式（2）所示。

式中：S _p 为加速比，无量纲，理想状态下其值为算法调用的计算机处理器个数p；T ₁ 、T _p 分别为采用串行算法和并行算法优化完成的时间。

式中：E _p 为并行效率，无量纲；S _p 为加速比。

1.3　MATLAB-ABAQUS-Python交互使用

求解算法的多目标函数值（即消能减震结构的层间位移角和加速度值）时，采用的是MATLAB-ABAQUS-Python交互使用技术，在MATLAB中调用ABAQUS来分析模型，调用Python来读取分析结果，具体流程如图4所示。

图4　求解目标函数值计算流程

Fig.4　Calculation process of solving objective function value

2　多目标并行遗传算法实现

2.1　多目标并行遗传算法框架结构

多目标并行遗传算法可看作内外两部分算法，内部为固定阻尼器数量的情况下，对阻尼器的布置位置进行优化，外部为循环优化阻尼器的布置数量。

2.2　多目标并行遗传算法实现流程

算法具体实现流程为：阻尼器数量为i时，该算法将种群划分为多个子种群，每个子种群可独立并行执行快速非支配排序遗传算法，达到进化代数时，即表示该数量下阻尼器的布置位置优化完成，输出最优解集合；接着增加阻尼器数量（i=i+1），继续执行布置位置优化；依次执行循环，直至阻尼器数量全部优化完成，输出不同阻尼器数量下的最优解集合。具体流程如图5所示。

图5　多目标并行遗传算法流程

Fig.5　Implementation flowchart of multi-objective parallel genetic algorithm

3　计算分析

3.1　结构模型

结构模型为14层钢结构，长为13.5m，宽为9m，柱的开间和进深均为4.5m，总高度为47.7m，首层层高为4.8m，其余层层高为3.3m，柱、梁的截面参数如表1所示，结构模型如图6所示。阻尼器采用自复位阻尼器。地震波选用El Centro 波200cm·s ^－2 （中震状态下）。

图6　结构模型

Fig.6　Structural model

3.2　多目标并行遗传算法的优化参数

种群规模为240，子种群数量为6。子种群的交叉变异算子为[0.6 0.2；0.6 0.15；0.6 0.1；0.8 0.2；0.8 0.15；0.8 0.1]。迁移周期为5，迁移率为0.2，迁移方法采用单向环迁移，即用某个子种群的最优个体去替换另一个相邻子种群的最差个体，直至所有子种群迁移完成。目标函数采用最大层间位移角和最大楼层加速度。迭代终止条件1：进化代数达到25代；迭代终止条件2：达到阻尼器最终数量。阻尼器数量设置为4~10对，对称布置在每层的两跨。

3.3　算法优化结果与分析

3.3.1　算法收敛性分析

算法优化过程中，每一代出现的最优解个体数量变化如图7所示。由图7可知，阻尼器数量不同，但每一代的最优解个数还是随着进化代数的增加而增加，表明该算法是逐渐收敛，且具有较强的收敛性，若进化代数足够多，则最终的最优解个体数会趋于平稳，并接近于种群个体总量。

图7　每代最优解个数变化趋势

Fig.7　Trend of the number of optimal solutions for each generation

3.3.2　算法效率分析

在El Centro波作用下，分别采用快速非支配排序遗传算法和多目标并行遗传算法对结构进行5次优化。计算两种算法的平均优化时间和调用模型次数，并计算多目标并行遗传算法的加速比和并行效率，结果如表2所示。

由表2可知，两种算法的平均加速比为4.83，由于多目标并行遗传算法将种群分为多个子种群，各个子种群可以并行执行快速非支配排序遗传算法操作，故提高了计算速度。两种算法的平均并行效率为80.56%，理想状态下的并行效率为100%，分析原因主要有以下两点：（1）算法将种群划分为多个子种群，各子种群独立进行模型分析以及数据处理，且互相执行迁移操作，此过程中无法做到无缝连接，从而造成时间上的浪费；（2）并行计算时，需要同时调用多个计算机处理器进行计算，而计算机在调用软件和硬件同时工作时会存在一定的并行开销。

将多目标并行遗传算法和穷举法进行对比，若采用穷举法，则需调用模型311,505,010,100次才得到最优解，而多目标并行遗传算法平均需要调用模型50,400次，可见多目标并行遗传算法的快捷性。

3.3.3　阻尼器最佳布置选择

在算法优化输出结果中，不同阻尼器数量下对应着不同的最优解集合，从最优解集合中挑选出现次数最多的个体作为该阻尼器数量下的最佳布置位置，并计算减震系数，如表3所示。不同阻尼器数量下，最大层间位移角和最大楼层加速度的变化如图8所示。

图8　最大层间位移角和最大楼层加速度随阻尼器数量的变化

Fig.8　Variation of maximum inter-story drift ratio and maximum floor acceleration with the number of dampers

由图8可知，最大层间位移角和最大楼层加速度并不随着阻尼器数量的增加而增大，而是呈单调递减趋势。由于阻尼器在结构上产生了附加刚度，导致加速度并非一直递减，于是算法在优化过程中，为了均衡层间位移角和加速度的减震效果，致使层间位移角也并非一直递减。

根据表3中阻尼器数量的变化，研究阻尼器最佳布置位置的规律，可发现阻尼器主要布置在结构中下部，且中部居多。

由图8和表3可知，阻尼器数量为8对时，有控结构的最大层间位移角达到最小值，最大楼层加速度也较小，综合减震效果最好，层间位移角减震系数为26.54%，加速度减震系数为21.64%。

3.3.4　不同地震波下的减震效果

根据表3中的结果，选取阻尼器数量为8对，按照最佳布置位置（1，3，6，7，8，8，9，13）进行布置，验算在不同地震波作用下的减震效果。计算结果如表4所示，提取不同地震波作用下结构每层的层间位移角和加速度，绘制包络图如图9和图10所示。

图9　楼层最大层间位移角包络图

Fig.9　Envelope diagram of maximum inter-story drift ratio

图10　最大楼层加速度包络图

Fig.10　Envelope diagram of maximum floor acceleration

由表4可知，不同地震波作用下，按照多目标并行遗传算法优化得到的阻尼器布置数量和布置位置进行布置时，依然具有减震效果，层间位移角减震系数最小为20.66%，加速度减震系数最小为18.35%。故利用该算法对消能减震结构上的阻尼器布置数量和布置位置进行优化具有可行性。

根据表3的阻尼器最佳布置位置规律，结合表4计算的减震效果，建议对于消能减震结构，阻尼器主要布置在中下部，且中部居多；对于14层钢框架消能减震结构，阻尼器布置数量可为8对，按照楼层数1、3、6、7、8、8、9、13进行布置。

4　结  论

为对消能减震结构上阻尼器的布置数量和布置位置进行优化，本文将快速非支配排序遗传算法和并行遗传算法相结合，提出一种多目标并行遗传算法。利用该算法对一个14层钢框架结构上的自复位阻尼器进行优化布置，可以得出以下主要结论：

（1）在不同阻尼器数量下，优化过程中每代的最优解个数随着进化代数的增加而增加，说明该算法是逐渐收敛。

（2）对于消能减震结构上阻尼器的优化布置，建议阻尼器主要集中布置在中下部，且中部布置要较多。

（3）在不同地震波作用下，该算法优化得到的阻尼器布置数量和布置位置对结构依然具有较强的减震效果。层间位移角减震系数最小为20.66%，加速度减震系数最小为18.35%。

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